求解非线性方程组的若干迭代算法之研究.pdf

1、本文主要研究Banach空间内求解非线性方程组f(x)=0的理论分析问题,特别是对Newton法,不精确Newton法(inexact Newton method),Newton-like方法的局部收敛性和半局部收敛性进行了详细的讨论,并给出新的结果。 Newton法xk+1=xk-f’(xk)-1f(xk)是用来求解非线性方程组常用的办法。因为在初始近似足够好的情形下,Newton序列能快速地收敛到方程的根,而且计算时每步计算

2、只与前一步有关,误差不传播,是自校正的,在理论和实际应用上都是一种重要的方法,为很多数值工作者所青睐。而自Newton法提出以来,关于Newton法的理论分析一直都没停止过,涌现出大量的成果,主要包括Newton法的局部收敛性定理,特别是收敛球与唯一性球半径的研究；Newton法的半局部收敛定理,特别是Mysovskii型定理和Kantorovich型定理的发展；以及Newton法的全局收敛性定理等。其中,Kantorovich定理以其

3、典型的条件,确切的结果成为研究Newton法半局部收敛性的典范。在对其条件结论的种种改进发展中,Wang([13])中给出的Newton法的半局部收敛性定理有很强的概括性,它将Kantorovich型条件和Smale型条件统一起来。这里我们给出这个结果新的应用,可以推出Argyros([14])中给出的含f的m阶导数信息的半局部收敛性定理(即定理2.1.3),并对其结果进行改进。 定理0.1若f满足Argyros([14])定理

4、的条件： (1)||f'(x0)-1f(X0))||≤β,(2)||f'(x0)-1f(i)(X0))||≤αi,i=2,…,m,(3)||f'(x0)-1[f(m)(x)-f(m)(x0)]||≤αm+1||x-x0||Ax∈Do,(4)p2(s)≤0,这里P2(r)定义如下： p2(r)=αm+1/(m+1)!rm+1+am/m!rm+…+α2/2r2-rβ,这里s是P'2(r)的一个根。 那么f满足Wang

5、([13])定理的条件： 由于Newton法每步都需要解一个线性方程组f'(xk)△k=-f(xk)(通常称为Newton方程组),在未知量比较多的情况下,若用消去法等直接方法求其精确解,计算代价是十分高的。正是出于此原因,Dembo-Eisenstat-Steihaug([59])提出求Newton方程组的近似解(例如用迭代法求解该方程组),即f’(xk)△k+f(xk)=rk,称之为不精确Newton法(inexact Ne

6、wton method)。我们在介绍了该方法已有的局部收敛性以及半局部收敛性结果后,给出f'在满足弱条件下不精确Newton法的Kantorovich型收敛性定理,并在余项rk≡0的情况下得到关于Newton法的著名的半局部收敛性定理。 定理0.2假设f:D C X→Y在S(x0,δ)C D上Frechet可微,X0∈D为给定的初始近似且f'(x0)-1存在。令L(u)是[0,δ]上正的非降函数,ρ(x)=||x-xo||,ρ(