线性方程组迭代法的若干问题.pdf

1、本文考虑了三个与求解线性方程组相关的问题，它们分别是： ·求解亏秩最小二乘问题的块加速超松弛迭代法； ·求解奇异I)-循环线性方程组的块加速超松弛迭代法； ·广义的关于预处理线性方程组的支撑理论． 众所周知，对于非奇异的线性方程组，即该方程组的系数矩阵A是可逆的，此时求解该方程组的迭代法收敛的充分必要条件是迭代矩阵的谱半径严格小于1．然而当线性方程组奇异时，只能要求迭代法半收敛． 首先，将求解线性

2、方程组的块加速超松弛迭代法应用于求解亏秩线性方程组的最小范数最小二乘解，其中线性方程组的系数矩阵A是秩为k的m×n复矩阵．证明了AOR和JOR(外推Jacobi)方法半收敛的一些充分必要条件，并且进一步讨论了由原系数矩阵A扩充而得的新的系数矩阵的不同分裂所导出的AOR迭代法的半收敛性，同时给出了最优参数使得AOR迭代法达到最快的收敛速度． 其次，研究了求解系数矩阵为奇异p-循环矩阵的线性方程组的块加速超松弛迭代法的半收敛性。在讨

3、论半收敛性之前，给出了块AOR迭代矩阵和相应的块Jacobi迭代矩阵的特征元素之间的一些基本性质，这些性质在半收敛性分析过程中起着十分重要的作用。利用块AOR迭代矩阵和相应的块Jacobi迭代矩阵的特征值之间所存在的关系，证明了求解奇异p-循环线性方程组的块AOR迭代法半收敛的一些充分条件． 预处理是用来加速迭代法收敛的一个重要手段．值得注意的是，经典的求解线性方程组的迭代法也都能够看作是求解采用不同的因子预处理之后得到的线性方

4、程组的迭代法．换句话来说，原线性方程组的松弛迭代法等价于预处理之后的方程组的定点迭代法． 谱条件数是反映预处理因子性态是否良好的一个有效指标。在估计特征值和条件数的界的研究领域，虽然已经有了很多的研究成果，但足支持理论还是一个全新的概念。支撑理论是一个用于分析预处理方程组的最大(或最小)特征值和条件数的代数架构，它最初产生于对称正定的线性方程组．最后，将适用于对称正定矩阵的支撑理论推广到一般的矩阵(包括不定的和非对称的矩阵)．在