迭代微分方程解析解与光滑解的研究.pdf

非线性科学已成为当今科学研究的一个热点，其中迭代动力系统扮演着十分重要的角色.对迭代动力系统的研究必然涉及迭代微分方程问题.迭代微分方程是一种具有复杂偏差变元的方程，其时滞不仅依赖于时间而且依赖于状态或者依赖于状态的导数甚至状态的高阶导数.这类方程是与已经形成了系统理论的传统的泛函微分方程(滞后型、中立型与超前型)不同的新型方程.它有很强的实际应用背景。在经典电动力学中的二体问题，一些人口模型、日用品价格波动模型、以及血细胞生产模型都有所涉及.本文将研究两种类型的迭代微分方程的解析解和光滑解. 本文的第一章介绍迭代、迭代与动力系统、迭代微分方程的有关概念和发展状况，以及为第二、三章的证明提供必要的理论基础。 迭代微分方程与常微分方程有很大的不同，由于未知函数迭代的出现，严重影响了解的性质，因此常微分方程中的存在唯一性定理不能直接使用.迭代微分方程是否有类似于常微分方程的存在性，唯一性和连续依赖性定理是一个需要回答的问题.本文的第二章第一节，第三章对两类迭代微分方程解析解的存在性和解的构造进行了研究.它是首先利用Schroder变换把迭代微分方程化为不含未知函数迭代的非线性微分方程，再利用优级数方法得到解析解的存在性，进而还利用Schroder变换、幂级数理论，来研究这类具有相当广泛性的非线性迭代方程解析解的存在性问题，在方法上要求其解在不动点处的特征值不在单位圆周上或在单位圆周上但满足Diophantine条件.本文要解决的解析解问题也涉及解在不动点处特征值的分布.当特征值处于单位圆周上时收敛性是很复杂的，我们不仅在Diophantine条件下(特征值“远离”单位根)证明了形式解的收敛性，而且在非Diophantine条件下(收敛性等同于著名的“小除数问题”)也取得了一些进展.文章中我们突破了Diophantine条件的限制，在α是单位根的情形，在较弱的Brjuno条件下给出了解析解结果。 迭代微分方程连续解和可微解的存在性、唯一性和稳定性已有许多结果.但在研究高阶光滑解的存在性、唯-性和稳定性时，由于函数的高次迭代的高阶导数的表达涉及复杂的计算而遇到困难.本文第二章第二节利用不动点定理得到了一类一阶迭代微分方程高阶光滑解的存在性、唯一性、和关于已知常数的连续依赖性定理，得到了与常微分方程类似的结论.