[学习]概率论与数理统计ppt课件第三章随机向量及其独立性

1、3.4　随机向量的函数的分布设(XY)是二维随机变量z=?(xy)是一个已知的二元函数如果当(XY)取值为(xy)时随机变量Z取值为z=?(xy)则称Z是二维随机变量的函数记作Z=?(XY)问题:已知(XY)的分布求Z=?(XY)的分布.一、离散型随机向量函数的分布例1解等价于概率例2设两个独立的随机变量X与Y的分布律为求随机变量Z=XY的分布律.解Z=XY的所有可能的取值是012…例3XY相互独立证明由前面的例题可知例4例5设X和Y相

2、互独立，X~B(n1p)Y~B(n2p)求Z=XY的分布.我们可以按照前面的方法来求解，也可以换一种方法.回忆第二章对服从二项分布的随机变量所作的直观解释:同样，Y是在n2次独立重复试验中事件A出现的次数每次试验中A出现的概率为p.若X~B(n1p)则X是在n1次独立重复试验中事件A出现的次数每次试验中A出现的概率都为p.故Z=XY是在n1n2次独立重复试验中事件A出现的次数.每次试验中A出现的概率为p.于是Z是以（n1n2，p）为参数

3、的二项随机变量，即Z~B(n1n2p).解（续）从问题的背景出发得到的结果更直接，更容易理解.更一般地，二、连续型随机变量函数的概率分布1.已知(XY)~f(xy)，求Z=?(XY)的概率分布.若Z为连续型随机变量则在f(z)的连续点处解例6XY相互独立设Z的分布函数和概率密度分别为例7已知(XY)~f(xy)，求Z=XY的概率密度.解1由概率密度的定义可知，Z=XY的概率密度为例7已知(XY)~f(xy)，求Z=XY的概率密度.解2由

4、概率密度的定义可知，Z=XY的概率密度为推论设(XY)关于XY的边缘密度分别为fX(x)fY(y).若X和Y独立则两个随机变量和的概率密度的一般公式解例8被积函数的非零域10(1010)(1020)20例9解被积函数的非零域已知XY相互独立且均服从标准正态分布，求Z=XY的概率密度.解例10若X和Y独立具有相同的分布N(01)则Z=XY服从正态分布N(02).有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布.一个重要的结论3.5　

5、极大极小值的分布设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y)求M=max(XY)及N=min(XY)的分布函数.M=max(XY)FM(z)=PM≤z=Pmax(XY)≤z=PX≤zY≤z=PX≤zPY≤z=FX(z)FY(z)类似地，可得N=min(XY)的分布函数是=1PXzYzFN(z)=PN≤z=Pmin(XY)≤z=1–Pmin(XY)z=1PXzPYz=1[1FX(z)][1FY(z)]推论例

6、1下面我们再举一例，说明当X1X2为离散型随机变量时，如何求Y=max(X1X2)的分布.解1记1p=q，则P(Xi=k)=pqk1k=12…(i=12)设随机变量X1X2相互独立并且有相同的几何分布P(Xi=k)=p(1p)k1k=12…(i=12)求Y=max(X1X2)的分布.例2P(Y=n)=P(max(X1X2)=n)=P(X1=nX2≤n)P(X2=nX1n)n=012…解2P(Y=n)=P(Y≤n)P(Y≤n1)=P(ma