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文档简介
1、第3讲 线性方程组的高斯求解方法,主要内容:1. 线性方程组的高斯求解方法2. 将行阶梯形矩阵化为行最简形矩阵,1.3 线性方程组的高斯求解方法,求解线性方程组: 先判断是否有解; 在有解时, 再求出所有解(通解).1.3.1 将增广矩阵化为行阶梯形矩阵例1.7 求解下列线性方程组,SolutionR(A) = R(B) = 3,1.3.2 将行阶梯形矩阵化为行最简形矩阵一个矩阵的行最简形矩阵(rref:
2、reduced row echelon form of a matrix), 必须满足以下3个条件:(1) 是该矩阵的行阶梯形矩阵.(2) 行阶梯形矩阵非零行的首元为1.(3) 首非零元1所在列的其他元素全为0.行最简形矩阵=约化行梯阵=简化行梯阵.,“向上消元”?,,,,,,,,,,,一般来说,将非零行的首非零元素对应的未知量x1、x2和x3作为先导未知量(leading unknown, 而其余未知量x4是自由未知量(fr
3、ee unknown). 先导未知量就是哪些不作为自由变量!!},先导未知量的个数就是矩阵的秩R(A) = R(B) = r = 3, 进而自由未知量的个数为 n – r = 4 – 3 = 1.,令x4 = k(其中k为任意常数) 将行阶梯形矩阵化为行最简形矩阵的目的: 方便求解.,在MATLAB命令窗口输入矩阵B以及rref(B)就可以得到B的行最简形矩阵,使用rrefmovie(B)还可以看到B的行最简形矩阵
4、的计算过程,再通过选取自由未知量可得出线性方程组的通解. 例如,为了得出的行最简形矩阵,可以键入以下两个命令并回车.,>>B=[2, -1, 0, 2, -1; -4, 5, -8, 3, 5; 3, -2, 1, 2, -2];format rat %用有理分数格式,否则是小数格式 >>rref(B)>>rrefmovie(B),定理1.2 若n元线性方程组有解, 其系
5、数矩阵和增广矩阵分别为A和B,则(1) 当R(A) = R(B) = r = n时, 该线性方程组有唯一解. ( n – r = 0!)(2) 当R(A) = R(B) = r < n时, 该线性方程组存在n – r个自由未知量, 进而有无限多个解.注意 当R(A) R(B)时, 该线性方程组无解.,下面举一个求解齐次线性方程组的例子.例1.8 用高斯消元法求解齐次线性方程组,,,Solution,其对应的同解齐次
6、线性方程组为,这时取x3和x4为自由未知量,令x3= k1, x4= k2,得原方程组的所有解为其中k1, k2为任意常数.,上面介绍的是使用高斯消元法求解线性方程组的一般步骤,可以自己总结一下.但可以灵活运用,例如在例1.8中,若取x2和x3为自由未知量,则将A的行梯形矩阵化为,其对应的同解齐次线性方程组为,取x2和x3为自由未知量,令x2= k1, x3= k2,得原方程组的所有解为其中k1, k2为任
7、意常数.,对于一般的线性方程组,已经解决了(1)解的存在性问题.(2)求出其所有解的问题.还需要研究的是线性方程组的解之间的关系问题,如上例中线性方程组(1.24)的两种解形式(1.25)和(1.26)本质上是相同的,在第3章将借助于向量理论讨论线性方程组的结构解问题.,下列线性方程组无解:但有些实际问题,需要得出x1和x2的值,使得各个方程左右两边差的平方和最小, 这就是线性方程组(1.27)的最小二乘解问题
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