南通2017届高三第一次调研测试

　　南通市2017届高三第一次调研测试

　　数学试题Ⅰ

　　一：填空题

　　1．函数的最小正周期为 。

　　2．设集合，则= 。

　　3．复数，其中为虚数单位，则的实部为 。

　　4．口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球。摸出红球

　　的概率为0.48，摸出黄球的概率是0.35，则摸出蓝球的概率为 。

　　5．如图是一个算法流程图，则输出的的值为 。

　　6．若实数满足，则的最大值为 。

　　7．抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下：

　　则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为 。

　　8．如图，在正四棱柱ABCD – A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，

　　则三棱锥D1 – A1BD的体积为 cm3。

　　9．在平面直角坐标系中，直线为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为 。

　　10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为

　　11．在中，若，则的值为 。

　　12．已知两曲线相交于点P。若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数的值为 。

　　13．已知函数，则不等式的解集用区间表示为 。

　　14．在平面直角坐标系中，已知B，C为圆上两点，点，且，则线段BC的长的取值范围是 。

　　二：解答题

　　15．（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，以轴正半轴为始边作锐角，其终边与单位圆交于点A，以OA为始边作锐角，其终边与单位圆交于点B，。

　　（1）求的值；

　　（2）若点A的横坐标为，求点B的坐标。

　　16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P – ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC、BD相交于点O，点E为PC的中点，OP=OC，PA⊥PD。

　　求证：（1）直线PA∥平面BDE；

　　（2）平面BDE⊥平面PCD。

　　17．（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，焦点到相应准线的距离为1.

　　（1）求椭圆的标准方程；

　　（2）若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线于点Q，求的值；

　　18．（本题满分16分）如图，某机械厂要将长6m，宽2m的长方形铁皮ABCD进行裁剪。已知点F为AD的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处（点C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P），再沿直线PE裁剪。

　　（1）当时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；

　　（2）若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由。

　　19．（本题满分16分）已知函数。

　　（1）当时，求函数的最小值；

　　（2）若，证明：函数有且只有一个零点；

　　（3）若函数又两个零点，求实数的取值范围。

　　20．（本题满分16分）

　　已知等差数列的公差不为0，且成等比数列，公比为。

　　（1）若，求的值；

　　（2）当为何值时，数列为等比数列；

　　（3）若数列为等比数列，且对于任意，不等式恒成立，求的取值范围。

　　【选做题】

　　[选修4-2：矩阵与变换]

　　已知向量是矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量，在平面直角坐标系中，点在矩阵A对应的变换作用下变为，求矩阵A.

　　[选修4-4：坐标系与参数方程]

　　在极坐标系中，求直线被直线所截得的弦长.

　　【必做题】（每小题10分）

　　如图，在棱长为2的正方体中，P为棱的中点，Q为棱上的点，且.

　　若，求AP与AQ所成角的余弦值；

　　若直线与平面APQ所成的角为，求实数的值.

　　在平面直角坐标系中，已知抛物线上的点到焦点F的距离为2.

　　求抛物线的方程；

　　如图，点E是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E处的切线与轴相交于点P，直线PF与抛物线相交于A，B两点，求面积的最小值。

　　南通市2017届高三第一次调研测试

　　数学试题Ⅰ参考答案

　　一：填空题

　　1． 2． 3． 4．0.17 5．5 6． 7 7．20 8． 9．

　　10． 11． 12． 13． 14．

　　二：解答题

　　15.解（1）在中，由余弦定理得：，

　　所以…………………………………………2分

　　，即；…………………………………………6分

　　（2）因为，且为锐角，所以，……8分

　　因为点A的横坐标为，由三角函数定义可得：，

　　因为为锐角，所以，…………………………10分

　　所以，…………12分

　　，

　　所以点。……………………………………………………………………14分

　　16.证明：（1）连结OE，因为O为平行四边形ABCD对角线的交点，所以O为AC的中点，

　　又E为PC的中点，所以OE//PA，………………4分

　　因为OE平面BDE，PA平面BDE，

　　所以直线PA//平面BDE；…………………………6分

　　（2）因为OE//PA，PA⊥PD，所以OE⊥PD，……8分

　　因为OP=OC，E为PC的中点，所以OE⊥PC，……10分

　　又PC∩PD=P，PD平面PCD，PC平面PCD，

　　所以OE⊥平面PCD，………………………………12分

　　因为OE平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD。………………………………14分

　　17. 解：（1）由题意得：，………………2分

　　解得：，所以椭圆的标准方程为；……4分

　　（2）由题意知OP的斜率存在，

　　当OP的斜率为0时，，所以=1，……6分

　　当OP的斜率不为0时，设直线OP的方程为，

　　由得：，解得：，所以，

　　所以，…………………………………………………………9分

　　因为，所以直线OQ的方程为，

　　由得：，所以，……………………12分

　　所以=，

　　综上，可知=1.………………………………………………14分

　　18. 解：（1）当时，，

　　所以，即，所以四边形MNPE为矩形，………………3分

　　所以四边形MNPE的面积为；…………………………5分

　　（2）设，由条件知：，

　　，，，……8分

　　由得：，所以解得：，

　　所以四边形MNPE的面积为

　　………………………………………………………………12分

　　当且仅当，即，时取“=”……14分

　　答：当时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，为。…16分

　　19. 解：（1）当时，，

　　所以，…………………………2分

　　令=0，得，

　　当时，<0，当时，>0，

　　所以函数在上单调递减，在上单调递增，

　　所以当时，有最小值；…………………………4分

　　（2）由，得：

　　所以当时，，函数在上单调递减，

　　所以当时，函数在上最多有一个零点，……………………6分

　　又当时，，

　　所以当时，函数在上有零点，

　　综上，当时，函数有且只有一个零点；……………………8分

　　（3）由（2）知：当时，函数在上最多有一个零点，

　　因为函数有两个零点，所以，……………………………………9分

　　由，得：

　　令，因为，

　　所以函数在上有且只有一个零点，设为，

　　当时，<0，<0，当时，>0，>0，

　　所以函数在上单调递减，在上单调递增，

　　要使得函数在上有两个零点，只需要函数的最小值，

　　即，又因为，

　　消去得：，

　　又因为在上单调递增，且，所以>1，

　　则，因为，所以，

　　所以2在上单调递增，所以，………………………………………13分

　　以下验证当时，函数有两个零点。

　　当时，，所以，

　　因为，且，

　　所以函数在上有一个零点，

　　又因为（因为），且，

　　所以函数在上有一个零点，

　　所以当时，函数在上有两个零点。

　　综上，实数的取值范围是。…………………………………………16分

　　（注：的证明过程，同学不妨自己证明书写）

　　20. 解：（1）由已知可得：成等比数列，所以，…2分

　　整理得：，因为，所以；………………………………4分

　　（2）设数列为等比数列，则，又因为成等比数列，

　　所以，

　　整理，得，

　　因为，所以，

　　因为，所以=，即=1；………………………………6分

　　当=1时，，所以，

　　又因为，所以，

　　所以，数列为等比数列，

　　综上，当=1时，数列为等比数列；……………………………………8分

　　（3）因为数列为等比数列，由（2）知：=，，

　　因为对于任意，不等式恒成立，

　　所以不等式，所以，

　　即恒成立，…………………………10分

　　下面证明：对于任意的正实数，总存在正整数，使得，

　　要证，即证，

　　因为，则，

　　解不等式，即，

　　可得，所以，

　　不妨取，则当时，原式得证，

　　所以，所以，即得的取值范围是。…………16分

　　附加题