线性方程组的求解方法及应用[毕业论文]

1、<p>　　本科毕业论文（设计）</p><p><b>　　（20 届）</b></p><p>　　线性方程组的求解方法及应用</p><p>　　所在学院 </p><p>　　专业班级 信息与计算科学 </p>

2、;<p>　　学生姓名 学号 </p><p>　　指导教师 职称 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘 要：方程的求解一直是数学研究的重要问题之一，而线性方程组的求解也是其中最简单、最重要

3、的方面。线性方程解的研究之所以成为中心问题，是因为在实践中直接或间接地提出了这类问题，同时线性方程组在数学的许多分支和领域内都有广泛的应用，因此熟悉其求解方法就显得尤为重要。本文首先介绍了线性方程组的背景及研究意义，其次介绍了线性方程组、解、解的结构的概念，同时介绍了线性方程组有解的五个定理，然后列举了线性方程组的求解方法：初等变换、回代法、Gauss消元法以及克莱姆法则。最后从几何方面、空间向量、矩阵、广义逆矩阵、多项式理论等方面讨论

4、了线性方程组理论的应用。</p><p>　　关键词：线性方程组；解；解的结构；矩阵</p><p>　　The solving method and applications of linear equations </p><p>　　Abstract：Solving equation is one of the important problems in th

5、eoretical mathematical research, and the simplest and most important topic is solving linear equations. The reason of solving the linear equations becomes the center problem in mathematical research is that it directly o

6、r indirectly puts forward this kind of problem in practice. Linear equations have wide range of application in many branches of mathematics, therefore, it is especially important to be familiar with solving Linear eq<

7、/p><p>　　Key words: linear equations; solution; structure of solution; matrix</p><p><b>　　目 录</b></p><p><b>　　1 绪 论1</b></p><p>　　1.1问题的背景及研究意义

8、1</p><p>　　2 线性方程组的解及解的结构3</p><p>　　2.1 线性方程组的概念3</p><p>　　2.2 线性方程组解的概念.4</p><p>　　2.3 线性方程组解的结构的概念.4</p><p>　　3 线性方程组的求解方法6</p><p>　　

9、3.1用初等变换法求解线性方程组6</p><p>　　3.2 用回代法求解线性方程组8</p><p>　　3.3用Gauss消元法求解线性方程组9</p><p>　　3.4 用克莱姆法则求解线性方程组13</p><p>　　4 线性方程组的应用.........................................

10、......................15</p><p>　　4.1 线性方程组在几何方面的应用..............................................15</p><p>　　4.2线性方程组在空间向量中的应用............................................15</p><p>　

11、　4.3 线性方程组在矩阵中的应用................................................16</p><p>　　4.4线性方程组在广义逆矩阵中的应用..........................................17</p><p>　　4.5线性方程组在多项式理论中的应用...........................

12、...............18</p><p>　　4.6线性方程组在处理矩阵秩问题中的应用......................................18</p><p>　　5 结论............................................................................21</p><

13、;p>　　致 谢............................................................................22</p><p><b>　　参考文献23</b></p><p><b>　　1 绪论</b></p><p>　　1.1 问题的背景及

14、研究意义[1][2] </p><p>　　线性代数是代数学科的一个分支,代数学的起源早在中世纪。</p><p>　　在公元820年左右，被冠以 “代数学之父”的称号的阿拉伯数学家花拉子米编著了《代数学》一书这就是Algebra一词的最初来源，书中开始探讨了数学问题的一般解法，尝试用代数方法处理线性方程组，同时引进了移项、合并同类项等代数运算。18世纪，代数学的主题仍是代数方程，其中代数

15、学发展的一个方向就是方程组理论。首先是线性方程组与行列式理论，莱布尼茨的行列式及其在解线性方程组中的应用思想得到了发展，瑞士数学家克莱姆提出了著名的“克莱姆法则”，即由系数行列式来确定线性方程组解的表达式法则；接着范得蒙行列式、拉普拉斯展开等重要结果被相继提出。而最古老的线性问题是线性方程组的解法，在中国古代的数学著作《九章算术》中已经作了比较完整的叙述，其中所述方法实质上相当于对方程组的增广矩阵的行施行初等变换、消去未知量的方法。在西

16、方，线性方程组的研究是在17世纪后期由莱布尼兹开创的。他曾研究含两个未知量的三个线性方程组成的方程组，证明了当方程组的行列式等于零时方程有解，此研究无疑促成了行列式和矩阵理论的发展。大约在1729年，英国数学家马克劳林开始用行列式的方法解含2到4个未知量的线性方程组，得到了克莱姆法则的结</p><p>　　众所周知，在数学上要直接得出问题结果是相当不易的, 但是根据条件建立方程组来求得解就简单得多。由此可见，线

17、性方程组对解决实际生活中的科学技术问题具有十分重要的意义。线性方程组是处理线性问题的思想方法。现在已经广泛应用于工程技术中。它与向量组、矩阵、线性映射存在着密不可分的关系，与矩阵、向量组相关的许多重要结论都是线性方程组有关结论的应用和推广。如：一个向量是否可以由一个向量组线性表示、表示形式是否唯一往往与非齐次线性方程组是否有解、有唯一解还是无穷多解是等价的；一个向量组是否线性相关与齐次线性方程组是否有非零解是等价的。从而可见，它由向量组

18、极大线性无关组引入，反映了向量组的线性相关程度，并推广到了矩阵，乃至线性映射。矩阵的秩的典型应用就是讨论线性方程组的基础解系个数。至于矩阵乘法最早也是从线性方程组中发展而来，而矩阵运算这种运算方式的产生就是由于应用（线性方程组），更重要的是这种运算方式使得我们处理问题变得非常容易。至于伴随矩阵，也是线性方程组研究的产物。可见，线性方程组带我们走出了处理科学应用中所遇到的一些麻烦，为迅速得出正确的结论指明了前进的方向。</p>

19、<p>　　2 线性方程组的解及解的结构</p><p>　　2.1 线性方程组的概念[3]</p><p>　　对于给定的方程组，其中是()阶矩阵，则</p><p>　　(1)且为非奇异矩阵时此方程组称为阶线性方程组；</p><p>　　(2)时，此方程组称为“超定方程组”；</p><p>　

20、　(3)时，此方程组称为“欠定方程组”。</p><p>　　线性方程组即一次方程组。线性方程组有一般形式、矩阵形式、向量形式。含个方程，个未知量的线性方程组的一般形式为：</p><p>　　表示未知量，称系数项，称常数项。线性方程组可分为齐次线性方程组和非齐次线性方程组。当时，线性方程组为齐次线性方程组，即：</p><p>　　（1）而当时，线性方程组为非齐次

21、线性方程组，即：</p><p><b>　　（2） </b></p><p>　　线性方程组也可以用矩阵表示。型线性方程组可表示为，称为线性方程组的系数矩阵；为线性方程组的未知量； 为线性方程组的增广矩阵。 线性方程组也可以用向量表示。设矩阵是线性方程组的系数矩阵，用记的第列，即，则型线性方程组可表示为</p><p>　　2.2

22、 线性方程组解的概念</p><p>　　如果维列向量使含有个未知量的线性方程组组成恒等式，则就叫做的一个解。如果线性方程组有无穷多个解，且这些解可以通过自由未知量（简化行阶梯形矩阵中单位列向量对应的未知量取为非自由未知量，其余的未知量取为自由未知量）表达主变量（即非自由未知量），则称此解为该方程的通解(或一般解)，当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解,称为方程的特解。就一般的齐次线性方程组而言, 解分为

23、零解和非零解。其实,非零解还可以再行分类:如果非零解的每个分量都不等于零,则称之为完全非零解,否则称为含零非零解。如果完全非零解的每个分量都大于零则称之为正解；如果含零非零解的每个非零分量都大于零则称之为半正解。非齐次线性方程组的解都是非零解。</p><p>　　2.2 线性方程组解的结构的概念</p><p>　　2.2.1 齐次线性方程组解的结构[4][5][6]</p&g

24、t;<p>　　若，,则全体向量构成 的一个子空间，它可以由个线性无关的解向量生成，叫做这个方程组的解空间。时，解空间为零空间。而线性子空间的一个向量组称为该子空间的一个基。如果齐次线性方程组的基础解系只含有一个解向量,则称之为极小齐次线性方程组,简称为极小方程组。此时,必要且只要秩,是的列数。设，上元齐次线性方程组 ： </p><p>　　（3） 有非零解时，它的解空间的一个基（4）称为齐

25、次方程组（3）的一个基础解系。若向量组（4）线性无关，方程组（3）的任一解向量均可由（4）线性表示。其中表示数域上的秩为的矩阵。</p><p>　　2.2.2 非齐次线性方程组解的结构</p><p>　　设,,称齐次线性方程组为非齐次线性方程组的导出组。非齐次线性方程组的两个解的差是它的导出组的一个解；非齐次线性方程组的全部解等于它的一个特解与其导出组的全部解的和。</p>

26、;<p>　　2.2.3 线性方程组有解的五个基本定理[7][8]</p><p>　　设齐次线性方程组的系数矩阵的列向量为,则它可写成向量形式 （5）</p><p>　　取它的部分项作为齐次线性方程组</p><p><b>　　（6）</b&

27、gt;</p><p>　　（6）称之为（5）的减列方程组。</p><p>　　定理 1：线性方程组有解的充要条件是。当时, 有唯一解；时,有无穷多解。</p><p>　　定理2：齐次线性方程组有非零解的充要条件是。</p><p>　　推论1：当时，齐次线性方程组一定有非零解。</p><p>　　推论2：含有个

28、未知量个方程的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数行列式等于零。</p><p>　　定理3：齐次线性方程组有正解的充要条件是这个方程组存在若干个减列方程组,它们都是有正解的极小方程组,并且这些极小方程组全部列向量的并集的秩等于的秩。</p><p>　　定理 4：当非齐次线性方程组有解时，解唯一的充要条件是对应的齐次线性方程组只有零解。 </p><p&

29、gt;　　定理 5：齐次线性方程组有非零解是解无穷多的充要条件，但反之当非齐次线性方程组的导出组仅有零解和有非零解时，不一定原方程组有唯一解或无穷解，即此时方程组不一定有解。</p><p>　　3 线性方程组的求解方法</p><p>　　本文我们所研究的方法都是用来求解阶线性方程组的。求解线性方程组的方法很多，但大体上可以分成两大类：直接法与迭代法。所谓直接法，指的是如果所有计算都是

30、精确进行的，那么经过有限步算术运算就可以求出方程组准确解的方法。但是，在实际计算过程中由于舍入误差的存在与影响，直接法一般只能求得方程组的近似解。所谓迭代法，是用某种极限过程去逐步逼近方程组的准确解。关于迭代法本文将不做讨论，本文主要讨论直接法中的初等变换法、Gauss消元法、克莱姆法则等。</p><p>　　3.1 用初等变换法求解线性方程组[9]</p><p>　　初等变换包括：

31、线性方程组的初等变换、行列式的初等变换和矩阵的初等变换。线性方程组的初等变换是对方程组进行换法变换、倍法变换、消元变换。</p><p>　　换法变换：交换两个方程的位置。</p><p>　　倍法变换：用一个非零数乘某一个方程。</p><p>　　消法变换：把一个方程的倍数加到另一个方程上。</p><p>　　因此，在矩阵形式下，对增广

32、矩阵作初等变换不改变方程组的解。如矩阵和是行初等变换下等价的矩阵，即存在可逆矩阵，使，则线性方程组是等价的线性方程组。</p><p>　　用初等变换法求齐次线性方程组的基础解系步骤如下：</p><p>　　第一步：把方程组的系数矩阵经过初等行变换化为简化行阶梯矩阵。</p><p>　　第二步：根据简化行阶梯矩阵写出方程组的一般解；</p><

33、;p>　　第三步：在方程组的一般解中，每一次让一个自由未知量取值为零，求出方程组的一个解，这样得到的个解就构成方程组的一个基础解系，其中是齐次线性方程组的秩。</p><p>　　例：用初等变换求解齐次线性方程组（用基础解系求解）</p><p><b>　　（7）</b></p><p>　　解：把方程组的系数矩阵经过初等行变换化为简化

34、行阶梯矩阵：</p><p>　　于是方程组的一般解为:</p><p><b>　　(8)</b></p><p>　　其中是自由未知量。让分别取，，，得出方程组的三个解： </p><p>　　是方程组（8）的一个基础解系。</p><p>　　求解非齐次线性方程组的通解与求解齐次

35、线性方程组的通解不同，非齐次线性方程组的全部解等于它的一个特解与其导出组的全部解的和。</p><p>　　例：用初等变换求解非齐次线性方程组（用基础解系表示通解）</p><p>　　分析：用这种方法求齐次线性方程组的基础解系,或求非齐次线性方程组的通解只需施行矩阵的初等行变换,省掉了写矩阵对应的方程组,以及设自由未知量等繁杂过程,简单而实用,且易于掌握，并且迅速得出方程解。</p

36、><p>　　解：由上述所给方程，先对矩阵作初等行变换得</p><p>　　所以方程组的一个基础解系为,。方程组的一个特解为，所以方程组的通解为，其中为任意常数。</p><p>　　马小霞[10]的讨论线性方程组全非零解存在性的例子就是先采用初等行变换，再根据判定定理得出是否存在非零解，以此解决下面类型的线性方程组。</p><p><

37、b>　　例：求解，其中</b></p><p>　　分析：对于求解这种非零解存在性的线性方程组，首先要对系数矩阵进行初等行变换，再将它的系数矩阵的秩与阶数比较，如果得到系数矩阵的秩小于阶数，则观察系数矩阵中是否存在至少为一个以上的不等于零的阶子式，如果存在，即可求得解。</p><p>　　解：从上述所给方程，对作行初等变换得</p><p>　　

38、即可知, 的最简方程组为</p><p>　　根据判定定理知,当时,方程组有全非零解。</p><p>　　3.2 用回代法求解线性方程组</p><p>　　回代法是首先将给定一个个方程个未知量的线性方程组尽可能转化为等价的严格三角形方程组。然后从第个方程组解的，将其代入第个方程解得，将和的值代入到第个方程解得，以此类推得到方程组的解。</p>&

39、lt;p>　　用以下三种运算得到一个等价的方程组：</p><p>　　（i)交换任意两个方程的顺序。</p><p>　　(ii)任一方程两边同乘一个非零的实数。</p><p>　　(iii)任一方程的倍数加到另一方程上。</p><p>　　将线性方程组用上述运算得到了一个容易求解的等价方程组。若的方程组仅有一个解，则利用上面的运

40、算(i)和运算(iii)可得到一个等价的“严格三角形方程组”。然后依照往回依次代入得到从到的值。</p><p>　　例：用回代法求解线性方程组 </p><p>　　解：上述方程可从第4个方程得到，将其代入第3个方程解得，将和的值代入到第2个方程解得，以此类推得到。因此，方程组的解为。</p><p>　　3.3 用Gauss消元法求解线性

41、方程组[11]</p><p>　　Gauss消元法是目前求解中小规模线性方程组(即阶数不要太高，不超过1000)最常用的方法，它一般用于系数矩阵稠密(即矩阵的绝大多数元素都是非零的)而又没有任何特殊结构的线性方程组。这个方法的指导思想是用一个统一的方法来消去未知量，使最终获得的是一个我们会解的三角形方程组。</p><p>　　Gauss变换就是通过一系列的初等变换，逐步将矩阵约化为一个

42、上三角阵，而又能保证这些变换的乘积是一个下三角矩阵。这可归结为：对于一个任意给定的向量，找一个尽可能简单的下三角矩阵，使经这一矩阵作用之后的第到第个分量均为零。能够完成这一任务的最简单的下三角矩阵便是如下形式的初等下三角阵，</p><p>　　这种类型的初等下三角矩阵称作Gauss变换，而称向量以为Gauss向量。</p><p>　　对于一个给定的向量，</p><

43、p><b>　　我们有，</b></p><p>　　由此立即可知，只要取，便有</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　其中这里要求。</b></p><p>　　对于一般的阶矩阵，在一定的条件下，我们也可以计算个Gauss变换，使得为上三角

44、矩阵，这就是Gauss消元法的基本原理。</p><p><b>　　对于线性方程组</b></p><p><b>　　(9)</b></p><p>　　通过消去计算，即通过矩阵的初等变换，将方程组变换成如下所示的等价方程</p><p><b>　　组：</b></

45、p><p>　　(10) </p><p>　　式中的系数矩阵称为上三角阵，此时方程组的解要通过回代来求取，即将上三角阵化为单位阵。</p><p>　　一般地，Gauss消去法的具体计算过程如下：</p><p>　　若令方程组(9)的增广矩阵为：</p><p>　　第一步：消去第一列中以

46、下的其他元素，得到</p><p>　　第二步，消去第二列中位于以下的其他元素，得到</p><p>　　对于其他各行元素进行以下操作：将每行的第2列元素除以，再乘上第2行的各元素，所得乘积的负值加到该行的相应元素上。</p><p>　　重复上述过程，经过步消元，得到：</p><p>　　这样就完成了消去过程。由此可以看出，用Gauss消

47、去法得到方程组的根时，需要进行自下而上的回代。</p><p>　　求解方程组的绝大多数的工作量，出现在将化简为严格的三角形式时。假设求解方程组后，我们知道了第一个方程组得到的三角形矩阵，因此希望求解新的方程组可以不必再次使用整个消元过程。即可使用分解，得到乘子为第步中从第行减去第行的倍数，将会看到这些乘子为什么可用来求解，用矩阵乘法的观点来理解消元过程将很有帮助。徐晓飞、曹祥玉、姚旭、陈盼[12]指出在现实生活

48、中处理实际问题时，我们通常将系数矩阵分解为两个三角矩阵，是单位下三角矩阵，是上三角矩阵。即先对系数矩阵进行消元，再将化为为三角形式，确定分解，可通过下述两步求解：</p><p>　　第1步:前代。方程可写为形如 ，令，可得。因此，可以通过求解下三角方程组求得</p><p>　　： </p><p>　　由第一个方程可得。这

49、个值可用于从第二个方程中求解,和的值又可用于从第三个方程求解，依此类推，求得下三角方程组的解。</p><p>　　第2步：回代。一旦确定。仅需求解上三角方程组，就可求解得到方程组的解。</p><p>　　例：用 Gauss消元法求解线性方程组</p><p>　　解：先对系数矩阵进行消元，再将其化为为三角形式，确定分解。 </p&

50、gt;<p>　　由上述方程先得到系数矩阵 </p><p>　　再对系数矩阵进行两步消元得到 </p><p>　　第一步的乘子为,第二步的乘子为。</p><p>　　令 及</p><p>　　一旦化简为三角形式，分解即为确定，方程组就可以通过解得方程组的解为。</p><p&g

51、t;　　3.4 用克莱姆法则求解线性方程组[2][11]</p><p>　　克莱姆法则定义：含个方程，个未知量的线性方程组的一般形式为：</p><p>　　当其系数行列式 时，有唯一解：</p><p>　　其中 </p><p>　　克莱姆法则原理：线性方程组的系数行列式的时候，根据克莱姆法则，它的解,是中

52、的即第列依次换成所得的行列式。若系数行列式时，则方程组有唯一的解（其解均为零）；若方程组有非零解，则系数行列式必为零。 </p><p>　　例：取何值时，线性方程组</p><p>　　有惟一解、无解、无穷多解?在有无穷多解时，求通解。</p><p>　　分析：这是方程个数与未知量个数相等的含参数线性方程组，如果采用初等行变换将增广矩阵化为阶梯形矩阵，然后根据是

53、否成立讨论参数取何值时线性方程组有解，何时无解。采用上述方法将会有很大的计算量，而采用克莱姆法则解线性方程组将会便捷很多。克拉默法则定义了当系数行列式，方程组有惟一解，且可用克拉默法则求出惟一解(当方程的阶数不大时)；而对于使得的方程组，分别列出增广矩阵用消元法求解。</p><p>　　解：方程组的系数行列式为</p><p>　　于是(1)当且时，方程组有唯一解：；</p>

54、<p>　　(2)当时，增广矩阵</p><p><b>　　，，方程组无解；</b></p><p>　　(3)当时，增广矩阵</p><p><b>　　，，方程组无解；</b></p><p>　　(4)当时，增广矩阵</p><p>　　，方程组有无穷多

55、解。</p><p><b>　　同解方程组为，</b></p><p><b>　　通解为</b></p><p><b>　　（为任意常数）。</b></p><p>　　4 线性方程组的应用</p><p>　　线性方程组理论是一个比较重要的研究

56、工具。我们在研究一些问题时,只要恰当地运用线性方程组理论, 就可以使比较复杂的研究过程简单化。本文将从几何方面、空间向量、矩阵、广义逆矩阵等方面的应用来讨论线性方程组理论的应用。</p><p>　　4.1 线性方程组在几何方面中的应用</p><p>　　线性方程可应用于求一些点到面的平面方程。</p><p>　　例如杨桂元[13]的求过点且与平面垂直的平面方

57、程就体现出了线性方程组解决几何方面的问题有着举足轻重的地位。</p><p>　　从上述例子，可以得到所求平面的一般式</p><p><b>　　（11）</b></p><p>　　再由面与面垂直的性质可得方程</p><p><b>　　（12）</b></p><p>

58、;　　接着判断是否全为零，接着判断(11),(12)构成的方程组是否有非零解。</p><p>　　显然均满足要求，则对应的矩阵为零，即所求平面方程： </p><p>　　齐次线性方程组广泛应用于其他数学运算中，对于求一些涉及非零解存在性的实例，要了解非零解的概念，存在非零解满足的条件，即方程组的系数行列式必须为零。</p><p

59、>　　4.2 线性方程组在空间向量中的应用</p><p>　　而侯秋果[4]涉及的向量组线性相关性的求解问题，就涉及了向量组线性相关性的内容，抽象矩阵的秩及较为复杂的线性方程组解的判定。通过此应用，加强了我们对齐次线性方程组无解的判定等方面的知识。</p><p>　　例：已知向量组(1) ；（2）；（3）。如果各向量组的秩分别为: 秩(1)=秩(2)=3,秩(3)=4,证明:向

60、量组的秩为4。</p><p>　　首先从向量的线性关系可从（2）和（3）得出两个线性方程组，再由已知的向量组的秩 之间的关系，可以得出（2）得出的线性方程组有解，（3）得出的线性方程组无解。可以判断出所要证明的方程无解。再根据线性方程组无解的充分必要条件：秩=秩，所以可得出向量组的秩为4。</p><p>　　例：设是实数域上所有实函数构成的线性空间, 讨论中函数组的线性相关性。<

61、/p><p>　　解：设实数 使得　　　　　　　　　　　　　　　　（13）</p><p>　　对求1 阶和2 阶导数, 并与原式联立得</p><p>　　该齐次线性方程组的系数行列式为</p><p>　　恒不为零。故齐次线性方程组只有零解, 从而线性无关。</p><p>　　4.3 线性方程组在矩阵中的应用<

62、;/p><p>　　杨成[14]运用齐次线性方程组理论证明了矩阵秩的有关结论。</p><p><b>　　例：证明．</b></p><p>　　证：　设,考虑齐次线性方程组:</p><p><b>　　（14）</b></p><p>　　与　　　　　　　　　　　　　　　　

63、　　　 （15） 显然（15）的解为（14）的解，因此，即，同</p><p>　　理，即结论成立, 得证。</p><p>　　例： 设为实矩阵, 为任意复数, 则设可逆的充分必要条件是可逆。</p><p>　　证： 可以只证充分性。设 , 上式两边左乘有，</p><p>　　由于 ,

64、 有。即，因此。</p><p>　　例：设为 实矩阵, 证明。</p><p><b>　　证： 先证明。因</b></p><p><b>　　即 。</b></p><p>　　以上证得 与 同解。从而它们的基础解系所含向量个数彼此相等。所以有。类似有, 故得证。</p><

65、;p>　　由此我们可以得到在证明一些矩阵秩的问题上,可以通过建立与矩阵对应的齐次线性方程组, 再依据齐次线性方程组理论得出关于解向量的式子, 从而证明矩阵秩的问题。对于矩阵秩问题的证明，齐次线性方程组理论是一个有力的手段。</p><p>　　4.4 线性方程组在广义逆矩阵中的应用[3]</p><p>　　这里先给出广义逆矩阵的一个定义。</p><p>

66、　　设为矩阵, 如果矩阵满足: , 则称为的一个广义逆矩阵。</p><p>　　下面再引人一个重要的定理及其推论</p><p>　　定理：为 矩阵, 为任意给定的广义逆, 则齐次线性方程组 的全部解为,这里 取遍任意维列向量。</p><p>　　推论：设是的一个广义逆, 有解, 则其全部解为.</p><p>　　由此我们可以知道对于，

67、矩阵的解, 也是须求全部从而得出 的全部解为。</p><p>　　徐德余[15]的线性方程组在广义逆矩阵中的例子就说明线性方程组理论是研究高等数学的强有力的工具。</p><p><b>　　例：设,求解</b></p><p>　　由题知, 其中分别为可逆阵, 且</p><p><b>　　所以</

68、b></p><p><b>　　故有即的解为。 </b></p><p><b>　　因此的解为。</b></p><p>　　由此可知, 对于求解类的方程, 不仅限于求解当为方阵时的情况, 我们可以通过引人广义逆矩阵来求解当不是方阵的情况, 从而拓宽了求解 的限制条件。</p><p>　

69、　4.5 线性方程组在多项式理论中的应用[16]</p><p>　　徐德余[16]就提及线性方程组在多项式整除讨论中的应用。</p><p><b>　　例：若，</b></p><p>　　这里的为实系数多项式，求证，其中。</p><p>　　证明：设的5个根为，其中，互不相同，记。由假设可得</p>

70、<p><b>　　（16）</b></p><p>　　由范德蒙行列式可知（2）的系数行列式不等于零，再由推论2得，其中。</p><p>　　4.6 线性方程组在处理矩阵秩问题中的应用[14]</p><p>　　线性方程组的理论与矩阵的秩有很密切的关系，但一般我们讨论如何用矩阵的秩来解决线性方程组的问题，对如何用线性方程组

71、来讨论矩阵的秩涉及的不多.而事实上很多矩阵秩的问题，如果用线性方程组来讨论的话是很容易解决的。本文通过实例介绍了线性方程组处理矩阵秩问题中的应用。</p><p>　　这里首先给出处理矩阵秩问题中的三个基本定理。</p><p>　　定理1：线性方程组有解，这里分别是线性方程组的系数矩阵与增广矩阵。</p><p>　　定理2：若是矩阵，是齐次线性方程组的解空间，则

72、。</p><p>　　定理3：若齐次线性方程组和的系数矩阵和分别是与矩阵，则（1）若的解都是的解，那么；</p><p>　　（2）若与同解，那么；</p><p>　　（3）若的解都是的解，且，那么与 同解。</p><p>　　例：设和分别是与矩阵，且，则。</p><p>　　证明：设的列向量为，</p&

73、gt;<p><b>　　则，</b></p><p><b>　　于是，即为的解。</b></p><p>　　令是齐次线性方程组的解空间，则，</p><p>　　因此的秩，即列向量组的秩不大于的维数，即，故。</p><p>　　例：设和分别是与矩阵，且，则对任意矩阵，</

74、p><p><b>　　都有。</b></p><p>　　证明：由及的解都是的解，可知与 同解。设是的任一解，则，于是是方程组的解，从而是的解，因此，即是的解。另一方面，的解显然是的解。</p><p><b>　　所以，与同解，故。</b></p><p><b>　　5 结论</

75、b></p><p>　　随着科学技术的发展，科学计算中的很多问题最终都转化为一个求解线性方程组的问题，那么如何快速、有效的求解线性方程组就成为研究的核心问题。</p><p>　　本文首先介绍了线性方程组的背景及研究意义，其次介绍了线性方程组的定义，三种</p><p>　　表示形式以及解、解的结构的概念，同时介绍了线性方程组有解的五个定理，然后列举了线性方

76、程组的直接法中的初等变换法、回代法、Gauss消元法及克莱姆法则。Gauss消元法是一种计算量小而精度高的方法，对于中小型稠密矩阵是一种很有效的方法，Gauss消元法在对系数矩阵消元后，大多使用LU分解。徐晓飞、曹祥玉、姚旭、陈盼[13]指出LU分解在求解方程组时，把对系数矩阵的计算和对自由项的计算分开了，这就使计算系数矩阵相同而自由项不同的一系列方程组变得特别方便，使线性方程组解题不再迂回复杂。而回代法是尽可能将所求线性方程组化成容易

77、求解的等价方程组，然后依据上述运算得到一个等价的“严格三角形方程组”，再依次从下往上回代，此法简单易懂，让我们处理问题比较格式化。克莱姆法则给出了线性方程组有解的一个充分条件，并且给出了解的表达形式，它处理方程个数与未知量个数相等的线性方程组更加简单，快捷。</p><p>　　最后本文从几何方面、空间向量、矩阵、广义逆矩阵、多项式理论等方面来讨论线性方程组理论在高等数学上的应用。此些问题欲要快速便捷的求得答案，

78、均需要建立线性方程组，再根据条件选择恰当的方法得到问题的解。因此，可以看出线性方程组对于解决科学工程问题有着举足轻重的地位。在科学技术高速发展的今天，虽然我们已经有足够的理论和方法去解决实际问题，但随着科技的进步，许多新的问题不断的涌现出来，所以我们必须掌握已有的理论，发展新的理论来迎接未来的挑战。</p><p><b>　　参考文献</b></p><p>　　[

79、1]赵树源.线性代数[M].北京:中国人民大学出版社,2001:113-119.</p><p>　　[2]陈志杰.高等代数与解析几何[M].北京: 高等教育出版社,2000:146-159.</p><p>　　[3]闫国松.浅议初等变换在矩阵理论中的作用[J].科技信息,2008,14:115-116.</p><p>　　[4]侯秋果.矩阵初等变换的应用[J]

80、.邢台学院初等教育学院,2010,11:112-113.</p><p>　　[5]付春尧.矩阵初等变换应用举例[J].南京邮电大学理学院,2010,16:84-85.</p><p>　　[6] 胡先富.齐次线性方程组通解的一种简便求法[J].廊坊师范学院学报,2009,8:11-13.</p><p>　　[7]中山大学数学力学系.常微分方程[M].北京: 高等

81、教育出版社, 1978：202-210.</p><p>　　[8]魏宗田.齐次线性方程组中的独立方程[J].高等数学研究,2009,1:91-92.</p><p>　　[9]孙学农.谈齐次线性方程组的基础解系的求法[J].济宁师范专科学校学报,2003,6:5-6.</p><p>　　[10]马小霞.唐军强.齐次线性方程组存在全非零解的一个判定方法[J].焦作

82、大学学报,2009,1:80-81.</p><p>　　[11]杨荫华.线性代数[M].北京:北京大学出版社, 2004;83-90.</p><p>　　[12]徐晓飞.曹祥玉.姚旭.陈盼.一种基于Doolittle LU分解的线性方程组并行求解方法[J].电子与信息,2010,32:2019-2021.</p><p>　　[13]杨桂元.线性方程组解的有关问

83、题[J].大学数学,2008,24:157-160.</p><p>　　[14] 杨成.线性方程组理论的妙用[J].中国民航飞行学院学报,2000,1:45-47.</p><p>　　[15] 徐德余.线性方程组理论在高等代数中的应用[J].绵阳师范学院学报,2008,27:1-6.</p><p>　　[16] 徐德余.高等代数[M].成都:四川大学出版社,2

84、005,175-178.</p><p>　　[17]J.Appl. Invetible Linea Maps Preserving-Inverses Of Matrices Over Pid[J].Math.& Computing, 22(2006): 255-265. </p><p>　　[18]Xavier Luciani,Laurent Albera.Joint E