数值分析课程设计(求解线性方程组)

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文档简介

1、　　数值分析课程设计　　作者姓名:　　学号: 　　一、问题的提出　　分别用SOR方法和高斯消元的L

2、U分解算法（lii=1, i=1,…,n）求解给定的线性方程组AX=B, 以感受迭代法和直接法的不同特点。　　二、实验内容　　自定义函数 SOR(A, B, w, MAXN, TOL)，以实现SOR方法求解线性方程组AX=B，其中　　A——系数矩阵；<

3、;/b>　　B——常数列向量；　　w——松弛因子；　　MAXN——迭代的最大次数　　TOL——达到的精度上限　　返回值有以下四种可能：</p&

4、gt;　　-2：SOR方法不收敛；（不收敛的依据为的某个分量值超出区间[-108, 108]。）　　-1：矩阵有一列全为0；　　0：算法经过MAXN次迭代还未收敛；　　k：SOR方法经k次迭代收敛，求得方程组的解向量X记录下来.　　自定义函数Dire

5、ct(A, B)，以实现高斯LU分解的方法求解线性方程组AX=B，其中　　A——系数矩阵；　　B——常数列向量；　　返回值有两种可能：　　“LU decomp

6、sition failed.”：分解过程中U的对角线元素至少一个为0；　　X：分解过程中　　分别使用步骤1中定义的函数SOR(A, B, w, MAXN, TOL)和步骤2中定义的函数Direct(A, B)进行测试，记录返回值及X值（算法收敛或有效的情形, 保留4位小数）:

7、　　测试1：　　MAXN =1000，TOL =10-9，w分别取1， 1.05， 1.1， 1.2， 1.3， 1.6， 1.95；　　测试2：　　MAXN =1000，TOL =10-9，w=1；<p&g

8、t;　　测试3：　　MAXN =1000，TOL =10-9，w=1.2；　　测试4：　　MAXN =1000，TOL =10-9，w=1， 1.1， 1.3， 1.8；　　测试5：: n阶Hil

9、bert矩阵定义为　　取n=3, MAXN =1000，TOL =10-9，w=1, 1.3, 1.6, 1.9;　　测试6：A为4阶Hilbert矩阵，MAXN =10000，TOL =10-6，w=1, 1.3, 1.6, 1.8, 1.9.　　三、实验结果及分析<

10、;/p>　　（一） SOR方法　　1. SOR法分析：　　（1）利用高斯SOR法可得迭代公式:　　X1(k+1)=(1-w)X1(k)-w/4(-X2(k)-X4(k))　　X2(k+1)=(1-w)X2(

11、k)-w/4(-X1(k+1)-X3(k)-X5(k)-5)　　X3(k+1)=(1-w)X3(k)-w/4(-X2(k+1)-X6(k))　　X4(k+1)=(1-w)X4(k)-w/4(-X1(k+1)-X5(k)-6)　　X5(k+1)=(1-w)X5(k)-w/4(-X2(k+1)-X4(k+1)-X(k

12、+1)+2)　　X6(k+1)=(1-w)X6(k)-w/4(-X3(k)-X5(k)-6);　　将松弛系数w的不同德值代入计算出X的值。　　利用迭代使|X(k+1)-X(k)|<e(e为精度，e=10^(-9))。　　（2）由于矩阵出现了，一列为0，所以不能使用迭

13、代，在程序中会出现r=-1.　　（3）X1(k+1)=(1-w)X1(k)-w/3(-X2(k)+3X3(k))　　X2(k+1)=(1-w)X2(k)-w/6(3X1(k+1)+3X3(k))　　X3(k+1)=(1-w)X3(k)-w/3(3X1(k+1)+3X2(k+1))<p

14、>　　利用迭代使|X(k+1)-X(k)|<e(e为精度，e=10^(-9))。　　（4）将方程组变为：　　X1+0X2+2X3+0X4+3X5+0X6+4X7=3　　3X1-1X2+0.5X3+8X4+2.2X5+1.6X6+0X7=8　　3X1+3X2+0

15、.5X3+12.5X4+5.4X5+3.6X6+X7=10　　5X1+2X2+5.5X3+8X4+2.2X5+1.6X6+3.3X7=12　　X1-4X2-1.5X3+9X4+2.2X5+1.6X6+3.3X7=9　　5.5X1+3.5X2+0.5X3+8X4+3.2X5+1.6X6+0X7=6

16、;　　-0.5X1-1.5X2+3X3+2X4+0X5+X6-X7=5　　迭代公式为：　　X1(k+1)=(1-w)X1(k)-w(2X3(k)+3X5(k)+4X7(k)-3)　　X2(k+1)=(1-w)X2(k)+w(3X1(k+1)+0.5X3(

17、k)+8X4(k)+2.2X5(k)+1.6X6（k）+X7(k)-10) 　　X3(k+1)=(1-w)X3(k)+w/0.5(3X1(k+1)+3X2(k+1)+12.5X4(k)+5.4X5(k)　　+3.6X6(k)+X7(k)-10)　　X4(k+1)=(1-w)X4(k)+w/8(5X1(k+1)+

18、2X2(k+1)+5.5X3(k+1)+2.2X5(k)　　+1.6X(k)+3.3X7(k)-12)　　X5(k+1)=(1-w)X5(k)+w/2.2(X1(k+1)-4X2(k+1)-1.5X3(k+1)+9X5(k+1)　　+1.6X6(k)+3.3X7(k)-9)

19、;　　X6(k+1)=(1-w)X6(k)+w/1.6(5.5X1(k+1)+3.5X2(k+1)+0.5X3(k+1)+8X4(k+1)+3.5X5(k+1)-6)　　X7(k+1)=(1-w)X7(k)-w(-0.5X1(k+1)-1.5X2(k+1)+3X3(k+1)+2X4(k+1)　　+X6(k)-6)&l

20、t;/p>　　将松弛系数w的不同德值代入计算出X的值。　　利用迭代使|X(k+1)-X(k)|<e(e为精度，e=10^(-9))。　　（5）将方程组变为：　　X1(k+1)=(1-w)X1(k)-2w(1/3X2(k)+1/4X3(k)-1)<p

21、>　　X2(k+1)=(1-w)X2(k)-4w(1/3X1(k+1)+1/5X3(k)-1))　　X3(k+1)=(1-w)X3(k)-6w(1/4X1(k+1)+1/5X2(k+1)-1)　　将松弛系数w的不同德值代入计算出X的值。　　利用迭代使|X(k+1)-X(k)|<e(e为精度，e=10^

22、(-9))。　　（6）将方程组变为：　　X1(k+1)=(1-w)X1(k)-2w(1/3X2(k)+1/4X3(k)+1/5X4(k)-1)　　X2(k+1)=(1-w)X2(k)-4w(1/3X1(k+1)+1/5X3(k)+1/6X4(k)-1)　　X3(k+1)=

23、(1-w)X3(k)-6w(1/4X1(k+1)+1/5X2(k+1)+1/6X4(k)-1)　　X4(k+1)=(1-w)X4(k)-8w(1/5X1(k+1)+1/6X2(k+1)+1/7X3(k+1)-1)　　将松弛系数w的不同德值代入计算出X的值。　　利用迭代使|X(k+1)-X(k)|<e(e为精

24、度，e=10^(-6))。　　2. 测试SOR方法　　测试1　　（1）W=1的时候:　　（2）W=1.05的时候:　　（3）W=1.1的时候:　　（4

25、）W=1.2的时候　　（5）W=1.3的时候　　（6）W=1.6的时候　　（7）W=1.95的时候　　测试2　　测试3<p&

26、gt;　　测试4　　（1）W=1的时候　　（2）W=1.1的时候　　（3）W=1.3的时候　　（4）W=1.8的时候　　测试5</

27、b>　　（1）W=1的时候　　（2）W=1.3的时候　　（3）W=1.6的时候　　（4）W=1.9的时候　　测试6<p

28、>　　（1）W=1的时候　　（2）W=1.3的时候　　（3）W=1.6的时候　　（4）W=1.8的时候　　（5）W=1.9的时候　　（二）高斯LU方法<p

29、>　　1. 高斯LU分析：　　（1）L矩阵为： 　　利用LD=B，算出D为：　　U矩阵为：　　利用UX=D，求出X的值。　　（2）

30、L矩阵为：　　U矩阵：　　由于U矩阵对角线出现了0，所以出现了“LU decompsition failed.”　　（3）L矩阵：　　U矩阵：</b&g

31、t;　　由于U矩阵对角线出现了0，所以出现了“LU decompsition failed.”　　（4）将矩阵A变为：　　而在将矩阵变为L与U时候出现了异常，在L与U矩阵中有异常值，且在U矩阵对角线上出现了0值，所以出现了“LU decompsition failed.”

32、　　（5）L矩阵：　　利用LD=B，可得到D为：　　U矩阵为：　　利用UX=D，求出X的值出来。 　　（6）L矩阵：

33、;　　（见下一页）　　利用LD=B,可以求出D；　　U矩阵为：　　利用UX=D，可以求出X的值出来。　　2. 测试高斯LU方法　　测试1

34、　　测试2　　测试3　　测试4　　测试5

35、　　测试6　　四、关于本设计的体会　　通过对高斯LU法和SOR法设计分析和测试以后，我发现两种方法各有优劣。高斯LU法得出的结果精度比较高，但是却不适用于所有的方程，使用范围相对较窄；而在使用SOR法时，虽然精度会稍微差一点，但是通过调整松弛度w，却可能适用于更多的方程，适用范围相对较宽。

36、　在做课程设计这个过程中，我发现自己还有很多很多知识没有学好，在参考别人的例子的时候好像很简单，但自己一上机操作写程序的时候就出现问题。调试的时候系统总有报错，还有很多警告，每修改一个变量，往往都要调试很久，有时候仅仅只是少了一个大括号，却地花上近半个小时才能找到问题的瓶颈所在。此外，通过本次的课程设计，我重温了许多C语言的知识。同时也发现了自己对C语言的掌握程度有所下降。其实，为了更加方便我今后的学习,我还是有必要对MATLAB进行学

37、习,不断扩充我的知识。　　最后，虽然得到的结果未如理想，但我会继续努力！谢谢李老师的指导！　　五、参考文献　　【1】《标准C语言基础教程》（第四版）电子工业出版社　　【2】《数值分析》（第三版）

38、北京理工大学出版社　　六、附录　　1. SOR方法（源代码）:　　#include <stdio.h>　　#include<math.h>　　#defi

39、ne N 20　　float get(float, float);　　void main ()　　{　　int n,Q,p=0;　　printf("请输入系数矩阵的阶数："

40、;);　　scanf("%d",&n);　　int i, j, k=0,r;　　float a[N][N], b[N];　　float x[N], y[N],z[N];　　float e,t,w;<

41、;/p>　　printf("请输入最大迭代次数MAXN=");　　scanf("%d",&Q);　　float v;　　printf("请输入精度TOL=");

42、　　scanf("%f",&v);　　printf("请输入松弛系数w=");　　scanf("%f",&w);　　printf ("请输入系数矩阵:\n ");<p

43、>　　for (i = 0; i < n; i++)　　{　　p=0;　　for (j = 0; j < n; j++)　　{</p&

44、gt;　　printf("a[%d][%d]:",j+1,i+1);　　scanf ("%f", &a[j][i]);　　if(a[j][i]==0)　　p=p+1;

45、;　　}　　if(p!=n)　　continue;　　else　　r=-1;<

46、;/p>　　printf("\n矩阵有一列全为0,松弛法不能迭代,r=%d\n",r);　　exit(0);　　}　　printf ("请输入右端项数组: \n");&l

47、t;/p>　　for (i = 0; i < n; i++)　　{　　printf("b[%d]:",i+1);　　scanf ("%f", &b[i]);<p&g

48、t;　　}　　for (i = 0; i < n; i++)　　x[i]=0;　　do　　{

49、　　for (i = 0; i < n; i++)　　{　　t =0.0 ;　　for (j = 0; j < n; j++)　　{</b&

50、gt;　　if (j < i)　　t += a[i][j] * y[j];　　else if (j > i)　　t += a[i][j] * x[j];　　}

51、　　z[i] =(b[i] - t) / a[i][i];　　y[i]=(1-w)*x[i]+w*z[i];　　}　　e = 0.0;　　for (j = 0; j <

52、n; j++)　　{　　e+= get(x[j],y[j]);　　}　　for (j=0; j < n; j++)　　{</

53、b>　　x[j] = y[j];　　}　　k=k+1;　　if(k>Q)　　{<

54、/b>　　r=0;　　printf("算法经过最大迭代次数还没有收敛，r=%d\n",r);　　exit(0);　　}</p&

55、gt;　　for(j=0;j<n;j++)　　{　　if(y[j]>100000000||y[j]<-100000000)　　{　　r=-

56、2;　　printf("\n迭代方法不收敛，r=%d\n",r);　　exit(0);　　}　　}

57、　　}　　while (e > v);　　printf("方程组的解为：\n");　　for (i = 0; i < n; i++)　　printf ("x%d=%f\t

58、\n", i+1, x[i]);　　printf ("\n");　　printf("\n迭代次数k=%d\n",k);　　return 0;　　}

59、　　float　　get (float x, float y)　　{　　float t;　　t=fabs(x-y);

60、　　return t;　　}　　2. 高斯LU分解法（源代码）：　　#include <stdio.h>　　#include <stdl

61、ib.h>　　#define N 100　　float getmx(float a[N][N], float x[N], int i, int n)　　{　　float mx = 0;&

62、lt;b>　　int r;　　for(r=i+1; r<n; r++)　　{　　mx += a[i][r] * x[r];　　}<p&

63、gt;　　return mx;　　}　　float getx(float a[N][N], float b[N], float x[N], int i, int n)　　{　　float resu

64、lt;　　if(i==n-1) 　　result = (float)(b[i]/a[n-1][n-1]);　　else 　　result = (float)((b[i]-getmx(a,x,i,n))/a[i][i]);</p&

65、gt;　　return result;　　}　　void main()　　{ float l[N][N]={0}; 　　float u[N][N]={0}; 　　floa

66、t y[N]={0};　　float x[N]={0}; 　　float a[N][N]; 　　float b[N]; 　　float sum=0;　　int i,j,k;

67、;　　int n;　　int flag=1;　　printf("请输入系数矩阵的大小：");　　scanf("%d", &n);　　printf("请输入系数矩阵值：\n");<

68、/p>　　for(i=0; i<n; i++)　　{　　for(j=0; j<n; j++)　　{　　printf("a[%d][%d]: &qu

69、ot;, i, j);　　scanf("%f", &a[i][j]);　　}　　}　　printf("请输入右端项数组：\n");

70、;　　for(i=0; i<n; i++)　　{　　printf("b[%d]: ", i);　　scanf("%f", &b[i]);

71、}　　for(i=0; i<n; i++)　　{　　for(j=0; j<n; j++)　　{　　if(i==j) l[i

72、][j] = 1;　　}　　}　　for(i=0; i<n; i++)　　{　　u[0][i] = (floa

73、t)(a[0][i]/l[0][0]);　　}　　for(i=0; i<n-1; i++)　　{　　for(j=i+1; j<n; j++)&

74、lt;b>　　{　　for(k=0,sum=0; k<n; k++)　　{　　if(k != i) sum += l[j][k]*u[k][i];　　}</p

75、>　　l[j][i] = (float)((a[j][i]-sum)/u[i][i]);　　}　　for(j=i+1; j<n; j++)　　{　　for(k=0

76、,sum=0; k<n; k++)　　{　　if(k != i+1) sum += l[i+1][k]*u[k][j];　　}　　u[i+1][j] = (float)((a[i+1][j]

77、-sum));　　}　　}　　int g, h;　　h=0;　　for(g=0

78、;g<n+1;g++)　　{　　if(u[g][g]==0)　　h=h+1;　　}　　if(

79、h=n)　　{　　printf("\nLU decompsition failed.\n\n");　　exit(0);　　}</b&

80、gt;　　/*回代方式计算数组X*/　　for(i=n-1; i>=0; i--)　　{　　x[i] = getx(u,y,x,i,n);　　}&l

81、t;/p>　　printf("\n\n数组X：\n");　　for(i=0; i<n; i++)　　{　　printf("x%d = %0.3f\n", i+1,x[i]);&l

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