矩阵的秩及其应用

1、- 1 -矩阵的秩及其应用 矩阵的秩及其应用摘要： 摘要：本文主要介绍了矩阵的秩的概念及其应用。首先是在解线性方程组中的应用，当矩阵的秩为 1 时求特征值；其次是在多项式中的应用，最后是关于矩阵的秩在解析几何中的应用。对于每一点应用，本文都给出了相应的具体的实例，通过例题来加深对这部分知识的理解。关键词： 关键词：矩阵的秩； 线性方程组； 特征值； 多项式Matrix rank and its applicationAbstract:

2、This paper mainly introduces the concept of the rank of matrix and its application. First is in the application of solving linear equations, when matrixes rank 1 eigenvalue; second is the application in polynomial, final

3、ly is about matrix rank in the application of analytic geometry. For every bit of use, these articles are given the corresponding specific examples, through examples of this part of knowledge to deepen the understanding.

4、Keywords: matrix rank； linear equations；eigenvalues； polynomial引言：阵矩的秩是线性代数中的一个概念，它描述了矩阵的一个数值特征。它是矩阵的一个重要性质。在判定向量组的线性相关性，线性方程组是否有解，求矩阵的特征值，在多项式、空间几何中等多个方面都有广泛的应用。由于矩阵的秩的重要作 用和地位，需要我们认真学习。1．矩阵的秩及其求法1.1 1.1 矩阵的秩的定义 矩阵的秩的定义

5、定义 1.1.1矩阵 的行（列）向量组的秩称为矩阵 的行（列）秩。 [1] A A定义 1.1.2矩阵的列向量组（或行向量组）的任一极大线性无关组所含向量的个 [2]数称为矩阵的秩。定义 1.1.3设在矩阵 中有一个不等于零的 阶子式，且所有的 子式（如果 [1] A r 1 r 存在的话）全等于零，则称矩阵 的秩为 ，记为 或秩 。零矩阵的 A r   r A r    A r 秩规定为零。- 3 -零，且有一个二阶子式

6、 0. 所以 , 可得 。即矩阵的秩 1 30 6    2 r B    2 r A 为 22 矩阵的秩的应用2．1 矩阵的秩在解线性方程组中的应用 矩阵的秩在解线性方程组中的应用解线性方程组常用的方法是消元法和利用矩阵的秩。消元法多用于方程组比较简单时。当方程组的计算量较大时运用矩阵的秩来求解时就显现出其明显的优势。引理 2.1.1如果齐次线性方程组 的系数矩阵 [1]11 1 12 2 121 1 22 2 21

7、1 2 2... 0... 0............... 0n nn ns s sn nb x b x b xb x b x b xb x b x b x                  的行秩 ，那么它有非零解。11 12 121 22 21 2nns s snb b bb b b Bb b b           r n 例 2.1.1 求齐次线性

8、方程组的一个基础解系并用它表示出全部解1 2 3 4 51 2 3 4 51 2 3 4 51 2 3 4 52 02 07 5 5 5 03 2 0x x x x xx x x x xx x x x xx x x x x                          解 对上面方程组的系数矩阵做初等变换可以得，由于1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 22 1

9、 1 1 1 0 5 3 3 1 0 5 3 3 11 7 5 5 5 0 9 6 6 6 0 6 9 0 03 1 2 1 1 0 5 5 2 2 0 5 1 4 0                                                          ，可知 .方程组的基础解系含有一个