固体物理学-黄昆-题库

� 对于金属：电子在能带中的填充可以形成不满带，即导带，因此它们一般是导体。对于半导体：

从能带结构来看与绝缘体的相似，但半导体禁带宽度较绝缘体的窄，依靠热激发即可以将满带中的

电子激发到导带中，因而具有导电能力。

� 对于绝缘体：价电子刚好填满了许可的能带，形成满带。导带和价带之间存在一个很宽的禁带，

所以在电场的作用下没有电流产生。

Q02_04_002 简述近自由电子近似模型、方法和所得到的主要结论。

� 考虑金属中电子受到粒子周期性势场的作用，假定周期性势场的起伏较小。作为零级近似，可以

用势场的平均值代替离子产生的势场：

。周期性势场的起伏量

处理。当两个由相互自由的矩阵元状态k

的零级能量相等时，一级修正波函数和二级

能量修正趋于无穷大。

，在布里渊区的边界处，能量发出突变，形成一系列

Q02_04_003 简述紧束缚近似模型的思想和主要结论。

� 紧束缚近似方法的思想：电子在一个原子（格点）附近时，主要受到该原子势场的作用，而将其

它原子（格点）势场的作用看作是微扰，将晶体中电子的波函数近似看成原子轨道波函数的线性组

合，这样可以得到原子能级和晶体中能带之间的关系。

一个原子能级εi对应一个能带，不同的原子能级对应不同的能带。当原子形成固体后，形成了一系列

能量较低的能级对应内层电子，其轨道较小，原子之间内层电子的波函数相互重叠较少，所以对应

能量较高的能级对应外层电子，其轨道较大，原子之间外层电子的波函数相互重叠较多，所以对应

Q02_05_001 什么是空穴？

状态的近满带中所有电子运动形成的电流和一个带正电荷

运动的粒子所产生的电流相同。这个空状态称为空穴。

Q02_05_002 将粒子看作是经典粒子时，它的速度和运动方程是什么？

� 电子状态变化基本公式：

Q02_05_003 简述导带中的电子在外场作用下产生电流的原因。

� 导带中只有部分状态被电子填充，外场的作用会使布里渊区的状态分布发生变化。所有的电子状

态以相同的速度沿着电场的反方向运动，但由于能带是不满带，逆电场方向上运动的电子较多，因

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Q02_05_004 简述满带中的电子在外场作用下不产生电流的原因。

� 有外场 E 时，所有的电子状态以相同的速度沿着电场的反方向运动。在满带的情形中，电子的运

动不改变布里渊区中电子的分布。所以在有外场作用的情形时，满带中的电子不产生宏观的电流。

Q02_06_001 从电子热容量子理论简述金属中的电子对固体热容的贡献。

� 在量子理论中，大多数电子的能量远远低于费密能量

，由于受到泡利原理的限制不能参与热

范围内电子参与热激发，对金属的热容量有贡献。计算结果表明电子

的热容量与温度一次方成正比。

Q02_06_002 为什么温度较高时可以不考虑电子对固体热容量的贡献？

� 在量子理论中，大多数电子的能量远远低于费密能量

，由于受到泡利原理的限制不能参与热

范围内电子参与热激发，对金属的热容量有贡献。在一般温度下，晶

格振动的热容量要比电子的热容量大得多；在温度较高下，热容量基本是一个常数。

Q02_06_003 为什么温度较低时可以必须考虑电子对固体热容量的贡献？

� 在低温范围下，晶格振动的热容量按温度的 3 次方趋于零，而电子的热容量与温度 1 次方成正比，

随温度下降变化比较缓慢，此时电子的热容量可以和晶格振动的热容量相比较，不能忽略。

Q02_06_004 为什么在绝对零度时，金属中的电子仍然具有较高的能量？

T = 0时：电子的平均能量（平均动能）：

E ，电子仍具有相当大的平均能量。因

为电子必须满足泡利不相容原理，每个能量状态上只能容许两个自旋相反的电子。这样所有的电子

不可能都填充在最低能量状态。

Q02_06_005 简述研究金属热容量的意义，并以过渡元素 Mn、Fe、Co 和 Ni 具有较高的电子热容量

为例说明费密能级附近能态密度的情况。

� 许多金属的基本性质取决于能量在

EF 附近的电子，电子的热容量

)成正比，由电子的热容量可以获得费米面附近能态密度的信息。

过渡元素 Mn、Fe、Co 和 Ni 具有较高的电子热容量，反映了它们在费米面附近具有较大的能态密度。

过渡元素的特征是 d 壳层电子填充不满，从能带理论来分析，有未被电子填充满的 d 能带。由于原

子的 d 态是比较靠内的轨道，在形成晶体时相互重叠较小，因而产生较窄的能带，加上的轨道是 5

重简并的，所以形成的 5 个能带发生一定的重叠，使得 d 能带具有特别大的能态密度。过渡金属只

是部分填充 d 能带，所以费密能级位于 d 能带内。

Q02_06_006 简述金属接触电势差的形成？

� 两块不同的金属 A 和 B 相互接触，由于两块金属的费米能级不同，当相互接触时可以发生电子

交换，电子从费米能级较高的金属流向费米能级较低的金属，使一块金属的接触面带正电（电子流

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出的金属），使另一块金属的接触面带负电（电子流入的金属），当两块金属达到平衡后，具有相同

的费米能级，电子不再流动交换。因此在两块金属中产生了接触电势差。

Q02_07_001 以对 Si 掺入 As 后形成的 N 型半导体为例，简述掺杂对半导体导电能力的影响。

� 对纯的半导体材料掺入适当的杂质，也能提供载流子。在 Si 掺入 As 后形成的 N 型半导体，杂质

在带隙中提供带有电子的能级，能级略低于导带底的能量，和价带中的电子相比较，很容易激发到

导带中形成电子载流子。

Q02_07_002 如图 XCH007_018_02 所示, 简述 N 沟道晶体管的工作原理。

� 栅极电压很小时，源区 S 和漏区 D 被 P 型区隔开，

即使在 SD 之间施加一定的电压，但由于 SP 和 DP 区构

成两个反向 PN 结，因此只有微弱的 PN 反向结电流。

如果栅极电压达到或超过一定的阈值，在 P 型半导体和

氧化物表面处形成反型层——电子的浓度大于体内空穴

的浓度，反型层将源区 S 和漏区 D 连接起来，此时在 SD

施加一个电压，则会有明显的电流产生。

通过控制栅极电压的极性和数值，使 MOS 晶体管处于

导通和截止状态，源区 S 和漏区 D 之间的电流受到栅极

电压的调制——集成电路应用。

Q02_07_003 半导体本征边吸收光的波长为多少？

� 本征光吸收光子的能量满足：

　　2π�

　　0 = 2

Q02_07_004 简述半导体本征激发的特点。

� 在足够高的温度时，由满带到导带的电子激发（本征激发）将是主要的。本征激发的特点是每产

生一个电子同时将产生一个空穴: 有：

，因此本征激发随温度变化更为陡峭。在这个范围里，测量和分析载流子随温度的

变化关系，可以确定带隙宽度。

Q02_07_005 什么是非平衡载流子？

� 在热平衡下，半导体中的杂质电子，或价带中的电子通过吸收热能，激发到导带中（载流子的产

生），同时电子又可以回落到价带中和空穴发生复合（载流子的复合），最后达到平衡时，载流子的

产生率和复合率相等，电子和空穴的浓度有了一定的分布。

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电子和空穴的浓度满足：

　　0 =

在外界的影响作用下，电子和空穴浓度可能偏离平衡值。如本征光吸收将产生电子—空穴对。

——称为非平衡载流子

Q02_07_006 以在 P 型材料形成的 PN 结为例，简述光生伏特效应?

� 利用扩散掺杂的方法，在 P 型半导体的表面形成一个薄的 N 型层，在光的照射下，在 PN 结及其

附近产生大量的电子和空穴对，在 PN 结附近一个扩散长度内，电子－空穴对还没有复合就有可能

通过扩散达到 PN 结的强电场区域（PN 结自建电场），电子将运动到 N 型区，空穴将运动到 P 型区，

使 N 区带负电、P 区带正电，在上下电极产生电压 —— 光生伏特效应。

Q02_07_007 什么是异质结的窗口效应？

� 光子能量小于宽带隙的 N 型层，即

，可以透过 N 型层，在带隙较窄的 P 型层被吸收。

用同质 PN 结制作光电池，入射光的大部分在表面一层被吸收，由于表面缺陷引起的表面复合和高

掺杂层中载流子寿命低等因素，使得一些电子－空穴对不能到达强电场以前，就发生了复合，降低

了太阳能电池的效率。利用异质结的窗口效应，可以有效地减小电子－空穴的复合率，提高太阳能

电池的光电转换效率。

Q02_07_008 对于掺杂的 N 型半导体在热平衡下，为什么导带中电子的浓度越高，价带中空穴的浓

� 半导体中的电子和金属中的电子一样服从费密——狄拉克统计。

在 N 型半导体中，施主越多，激发到导带中的电子越多，电子跃迁与价带中空穴发生复合的几率越

大，因此满带中的空穴越少。

Q02_07_009 什么是本征光吸收跃迁和电子－空穴复合发光？

� 本征光吸收：光照可以将价带中的电子激发到导带中，形成电子—空穴对，这一过程称为本征光

吸收。电子－空穴对复合发光是本征光吸收的逆过程，即导带底部的电子跃迁到价带顶部的空能级，

发出能量约为带隙宽度的光子。

Q02_07_010 为什么半导体掺杂可以提高其导电能力？

� 理想的半导体材料是没有缺陷或没有杂质，半导体中的载流子只能是激发到导带中的电子和价带

中的空穴。对纯的半导体材料掺入适当的杂质，也能提供载流子。因此实际的半导体中除了与能带

对应的电子共有化状态以外，还有一些电子可以为杂质或者缺陷原子所束缚，束缚电子具有确定的

能级，杂质能级位于带隙中接近导带的位置，在一般温度下即可被激发到导带中，从而对半导体的

导电能力产生大的影响。

Q02_07_011 什么是 P 型和 N 型半导体？

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� 根据掺杂元素对导电的不同影响，杂质态可分为两种类型。

杂质在带隙中提供带有电子的能级，能级略低于导带底的能量，和价带中的电子相比较，很容易激

发到导带中，称为电子载流子。主要含有施主杂质的半导体，主要依靠施主热激发到导带的电子导

电——N 型半导体。

杂质提供带隙中空的能级，电子由价带激发到受主能级要比激发到导带容易的多。主要含有受主杂

质的半导体，因价带中的一些电子被激发到施主能级，而在价带中产生许多空穴，主要依靠这些空

穴导电——P 型半导体。

Q02_07_012 半导体中掺入深能级杂质，对半导体的导电有何影响？

� 1) 可以成为有效复合中心，大大降低载流子的寿命；2) 可以成为非辐射复合中心，影响半导体

的发光效率；3) 可以作为补偿杂质，大大提高半导体材料的电阻率。

Q02_07_013 以在 Ge 半导体掺入 As 为例，简述为什么类氢杂质能级的施主能级位于导带附近？

� 一个第IV族元素Ge（4 价元素）被一个第V族元素As（5 价元素）所取代的情形，As原子和近邻

的Ge原子形成共价键后尚剩余一个电子。因为共价键是一种相当强的化学键，束缚在共价键上的电

子能量很低，从能带的角度来说，就是处于价带中的电子。多余一个电子受到As+离子静电吸引，其

束缚作用是相当微弱的，在能带图中，它位于带隙之中，且非常接近导带底。这个电子只要吸收很

小的能量，就可以从带隙跃迁到导带中成为电子载流子。

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PART THREE 计算题

Q03_01_001 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方

体心立方晶格原胞基矢：

体心立方晶格原胞体积：

为基矢构成的格子为面心立方格子。

面心立方格子原胞基矢：

面心立方格子原胞体积：

为基矢构成的格子为体心立方格子。

Q03_01_002 证明倒格子原胞体积为

为正格子原胞的体积。

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Q03_01_003 证明：倒格子矢量

　　1 1

　　3 ) 的晶面系

　　1 2

　　1 1

如图 XCH_001_047 所示。

　　1 2 3

　　1 2 3

　　1 2

Q03_01_004 如果基矢

构成简单正交系，证明晶面族

并说明面指数简单的晶面，其面密度比较大，容易解理。

� 对于简单正交系：

代入倒格子的定义式得：

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面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，这样的晶面越容易解理。

Q03_01_005 指出立方晶格（111）面与（100）面，（111）面与（110）面的交线的晶向。

� 如图 XCH_001_051_01 所示（111）面与（100）面的交线的晶向为 AB

AB 平移，A 点到原点 O，B 点的位矢：

因此，（111）面与（100）面的交线的晶向： AB

—— [0 1 1]

如图 XCH_001_051_02 所示（111）面与（110）面的交线的晶向

AB 平移，A 点到原点 O，B 点的位矢：

因此，（111）面与（110）面的交线的晶向： AB

—— [1 10]

Q03_01_006 试做出简单立方晶格、面心立方晶格和体心立

方晶格的维格纳—塞茨原胞(Wingner-Seitz)。

维格纳—塞茨原胞：由某一个格点为中心，做出最近各点

和次近各点连线的中垂面，这些所包围的空间为维格纳—

塞茨原胞。如图所示为一种二维格子的维格纳—塞茨原胞。

简 单 立 方 、 面 心 立 方 晶 格 和 体 心 立 方 晶 格 如 图

XCH001_002、007 和 003 所示。

简单立方格子的维格纳—塞茨原胞为原点和 6 个近邻格点连线的垂直平分面围成的立正方体。

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如图 XCH001_058 所示。

面心立方格子的维格纳—塞茨原胞为原点和 12 个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体。如

图 XCH001_059 所示。

体心立方格子的维格纳—塞茨原胞为原点和 8 个近邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体，和沿

立方轴的 6 个次近邻格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角，形成的 14 面体。八个面是正六边

形，六个面是正四边形。如图 XCH001_060 所示。

Q03_02_001 证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为：

　　1/ 2

，选定某一个离子为参考离子，假定离子数目很大，参考离子

左右两边各有一个异号离子。

　　2[ 1

Q03_02_002 若一晶体中两个离子间的相互作用能表示为： ( )

　　1）平衡间距

　　2）结合能

　　3）体弹性模量

　　4）若取

　　3.0

　　10,

� 晶体总的内能：

—— N 为原子的总数

　　1）令

　　0 1

—— 平衡时原子的间距：

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2）单个原子的结合能：

　　3）体弹性模量；

N 为原子的总数。

—— 平衡位置满足的条件

，代入上面的表达式得到：

　　9 0

　　3.0

　　10,

　　4 r0

　　5.9 10

　　4.5 10

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Q03_02_003 已知有 N 个离子组成的 NaCl 晶体，其结合能为

　　2 (4

β ，且当晶体处于平衡时，这两者对互作用势能的贡献相同，试求

� 将结合能在平衡位置

r = 0r 处展开：

　　2 (

　　2 (4

　　2 (

　　0r n

　　2 (4

　　2 (

　　2ln

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Q03_03_001 讨论 N 个原胞的一维双原子链

（相邻原子间距为 a），其 2N 格波解，当

时与一维单原子链的结果一一对应。

� 如图 XCH003_005 所示，质量为 M 的原

子位于 2n-1， 2n+1， 2n+3 ……

质量为 m 的原子位于 2n， 2n+2， 2n+4 ……

—— 体系 N 个原胞，有 2N 个独立的方程

] 带回到运动方程得到：

若 A、B 有非零的解，系数行列式满足：

两种不同的格波的色散关系：

—— 第一布里渊区

—— 第一布里渊区允许 q 的数目：

对应一个 q 有两支格波：一支声学波和一支光学波。总的格波数目为 2N。

　　2 {1

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