《自动控制原理》3-6+线性系统稳态误差分析

:第三章线性系统的时域分析法线性系统的稳态误差分析:稳定性、过渡过程性能(动态性能)和稳态性能是我们分析系统、评价系统、改善系统时所用的三类重要衡量标准。:控制系统的稳态误差系统响应的稳态分量(例如的输出分量）反映了系统跟踪给定控制信号或希望输出信号的准确度或抑制扰动信号的恢复能力。通常用稳态误差来衡量。它与系统本身的结构、参数及外作用的形式有关，也与元件的不灵敏、零点漂移、老化及各种传动机械的间隙、摩擦等因素有关。本书只讨论由于系统结构、参数及外作用等因素所引起的稳态误差，即原理性误差。给定稳态误差（由给定输入引起的稳态误差）扰动稳态误差（由扰动输入引起的稳态误差）给定输入量变化时，要求系统输出量以一定的精度跟随输入量的变化，因而用给定稳态误差来衡量系统的稳态性能。给定输入量不变时，需要分析输出量在扰动作用下所受到的影响，因而用扰动稳态误差来衡量系统的稳态性能。原理性误差、给定稳态误差、扰动稳态误差。:()()()()()((([]([][])))::)((([]([][])))::)((([]([][])))::)从图形中体会误差和稳态误差理想值:输入（理想值）===阶跃响应阶跃响应：稳态误差为零斜坡响应：稳态误差为常数=::=((([]([][]))))误差从图形中体会误差和稳态误差:一、稳态误差的定义和基本概念系统的误差()的基本定义为输出量的希望值与实际值之差。典型系统结构如图所示，其误差定义有两种形式：（）输出端定义法：式中：为系统输出量的希望值；()为输出量的实际值。（）输入端定义法：式中：()为给定输入；()为系统主反馈信号。（）是测量装置的传递函数（通常我们认为是理想的），故此时误差就是给定输入与测量装置的输出量之差。误差的定义:希望情况下偏差信号()＝，则系统在输入信号作用下的希望输出为：对于扰动信号()而言希望的情况就是扰动信号引起的输出为（=，=）即系统的希望输出()一点都不受扰动的影响。“希望值”的基本概念：希望的状态总之：一:从系统输出端定义的稳态误差，概念清晰，物理意义明确，也符合基本定义，但在实际系统中无法测量，因而，一般只有数学意义。而从系统输入端定义的稳态误差，它在系统中是可以测量的，因而具有实用性。对于单位反馈系统，要求输出量()的变化规律与给定输入()的变化规律一致，所以给定输入()也就是输出量的希望值，即。此时，上述两种定义统一为()=()()说明一:对于非单位反馈系统，若设定义的误差为’()定义的误差为()，则()与’()的关系如下：可见，两种定义对非单位反馈系统是存在差异的，但两种定义下的误差之间具有确定的关系，即误差’()可以直接或间接地由()来确定。从本质上看，它们都能反映控制系统的控制精度。在本书以后的讨论中，将采用第二种误差定义。()通常也称为系统的误差响应，它反映了系统在输入信号和扰动信号作用下整个工作过程中的精度。误差响应中也包含有瞬态分量和稳态分量两个部分，如果所研究的系统是稳定的，那么当时间趋于无穷大时，瞬态分量趋近于零，剩下的只是稳态分量。说明一:稳态误差的定义：对于稳定的系统，误差信号的稳态分量称为系统的稳态误差，以表示。基本公式注意：误差、误差响应、稳态分量、瞬态分量、稳态误差等概念注意：两种误差定义的统一性其关键在于反馈传递函数()的确定性、可靠性、准确性。稳态误差的定义一:()()()()()((([]([][])))::)()=()()=注意：误差、误差响应、稳态分量、瞬态分量、动态误差、稳态误差等概念单位反馈情况：从图形和公式中体会误差和稳态误差一:()()()()()((([]([][])))::)()()=()()=非单位反馈情况：注意：误差、误差响应、稳态分量、瞬态分量、动态误差、稳态误差等概念从图形和公式中体会误差和稳态误差一:注意：误差、误差响应、稳态分量、瞬态分量、动态误差、稳态误差等概念误差：或一般意义；误差响应：包括输入误差和干扰误差，也有具体误差响应曲线的意思；稳态分量：的全称：误差响应的稳态分量；瞬态分量：后误差响应的变化关系；稳态误差：心中一定要有开始给出的语言定义。一:()=()((([]([]([][]))))::)从图形和公式中体会误差和稳态误差一:输入===阶跃响应阶跃响应：零稳态误差斜坡响应：稳态误差为常数指令：=::=((([]([][]))))从图形和公式中体会误差和稳态误差一:研究稳态误差的不同问题所使用的不同结构图。一般形式特殊形式特殊形式特殊形式特殊形式注意：这种形式好用梅孙公式。一:二、输入作用下的稳态误差如果不计扰动输入的影响，只求系统的给定稳态误差。此时，系统的结构图简化为。注意分析的方法和思路准备:由图可知由误差的定义可知式中称为给定输入作用下系统的误差传递函数。应用拉氏变换的终值定理可以方便地求出计算系统的稳态误差的基本公式。想着梅逊公式基本公式注意这里采用的是输入侧定义的方法。准备:在给定输入作用下，系统的稳态误差与系统的结构、参数和输入信号的形式有关，对于一个给定的系统，当给定输入的形式确定后，系统的稳态误差将取决于开环传递函数描述的系统结构。分析稳态误差与系统结构的关系，关键是根据开环传递函数()()中串联的积分环节个数所规定的控制系统类型。设系统的开环传递函数一般形式为准备:式中称为系统的开环放大倍数或开环增益（第二章中已经给出该公式）。开环传递函数的分类：以分母中串联的积分环节个数来定义开环传递函数的型。当时，分别称系统为型、型、型系统。而()()中其它零、极点对分类没有影响。下面分析系统在不同典型输入信号作用下的稳态误差。开环传递函数的一般形式：准备:基本公式小结：紧紧围绕公式来研究。（）（）（）（）（）准备:令称为稳态位置误差系数。稳态误差可表示为因此，在单位阶跃输入下，给定稳态误差决定于系统的位置稳态误差。对于型系统，、单位阶跃输入时的稳态误差对于单位阶跃输入，()=由式（）求得系统的稳态误差为讨论：注意方法和思路再用讨论法定义式基本公式基本公式开始:对于型系统（或高于型的系统），可见，由于型系统中没有积分环节，它对阶跃输入的稳态误差为一定值，误差的大小与系统的开环放大系数成反比，越大，越小，只要不是无穷大，系统总有误差存在。对实际系统来说，通常是允许存在稳态误差的，但不允许超过规定的指标（如％）。为了降低稳态误差，可在稳定条件允许的前提下，增大系统的开环放大系数，若要求系统对阶跃输入的稳态误差为零，则必须选用型或高于型的系统。说明：:()()()()()((([]([][])))::)((([]([][])))::)((([]([][])))::)从图形中体会误差和稳态误差:、单位斜坡输入时的稳态误差对于单位斜坡输入，此时系统的稳态误差为令称为稳态速度误差系数。于是稳态误差可表示为因此，在单位斜坡输入下，给定稳态误差决定于速度误差系数。定义式基本公式基本公式:对于型系统，对于型系统，再用讨论法:对于型系统（或高于型的系统），上面的计算表明，在单位斜坡输入作用下，型系统的稳态误差为，而型系统的稳态误差为一定值，且误差与开环放大系数成反比。为了使稳态误差不超过规定值，可以增大系统的值。型或高于型系统的稳态误差总为零。因此，对于单位斜坡输入，要使系统的稳态误差为一定值或为零，必需，也即系统必须有足够积分环节。说明：:输入===阶跃响应阶跃响应：零稳态误差斜坡响应：稳态误差为常数指令：=::=((([]([][])))):、单位抛物线输入时的稳态误差对于单位抛物线输入，此时系统的稳态误差为令称为稳态加速度误差系数。于是稳态误差可表示为对于型系统，于是稳态误差可表示为定义式基本公式基本公式:对于型系统，对于型系统，:对于型系统（或高于型的系统），以上计算表明，在单位抛物线输入作用下，型和型系统的稳态误差为，型系统的稳态误差为一定值，且误差与开环放大系数成反比。对型或高于型的系统，其稳态误差为零。但是，此时要使系统稳定则比较困难。说明：:=::=^(((([][])([]([][])))))=误差:=::=^(((([][])([]([][])))))=误差:在各种典型输入信号作用下，不同类型系统的给定稳态误差如表所示。小结：:注意使用线性叠加原理。即给定输入信号增加多少倍，则稳态误差也增加相同的倍数；若给定输入信号是上述典型信号的线性组合，则系统相应的稳态误差就由叠加原理求出。例如，若输入信号为则系统的总稳态误差为稳态误差系数、、和描述了系统对减小和消除稳态误差的能力，因此，它们是系统稳态特性的一种表示方法，可以理解为稳态性能指标。提高开环放大系数或增加开环传递函数中的积分环节数，都可以达到减小或消除系统稳态误差的目的。但是，这两种方法都受到系统稳定性的限制。因此，对于系统的准确性和稳定性必须统筹兼顾、全面衡量。说明：可以作为基本公式。:由以上讨论可知，当时，系统相对的稳态误差为零，当时，系统相对的稳态误差为零；当时，系统相对的稳态误差为零。因此，当开环系统含有个串联积分环节时，称系统对给定输入()是阶无差系统，而称为系统的无差度。例设图示系统的输入信号()=，试分析系统的稳定性并求出其稳态误差。解由图求得系统的特征方程为先判稳:由特征方程列劳斯表要使系统稳定，必须()－解得，，所以，当时，系统是稳定的。（）由图可知，系统的开环传递函数为系统的稳态误差系数分别为再求稳态误差:所以，系统的稳态误差为上述结果表明，系统的稳态误差与成反比，值越大，稳态误差越小，但值的增大受到稳定性的限制，当时，系统将不稳定。（）求稳态误差系数（）求稳态误差说明：:[]=(([]([]([][]))))===[]=(([]([]([][]))))=[]=解法：辅助法:=::=((([]([]([][])))))=可视化误差:三、扰动稳态误差控制系统除了受到给定输入的作用外，通常还受到扰动输入的作用。系统在扰动输入作用下的稳态误差的大小，反映了系统的抗干扰能力。化成便于观察的形式()=:扰动输入可以作用在系统的不同位置，因此，即使系统对于某种形式的给定输入的稳态误差为零，但对同一形式的扰动输入其稳态误差则不一定为零。下面根据线性系统的叠加原理，以图所示系统来讨论由扰动输入所产生的稳态误差。按照前面给出的误差信号的定义可得扰动输入引起的误差为而此时系统的输出为想着梅孙公式:式中称为扰动输入作用下系统的误差传递函数。此时，系统的稳态误差为所以可以比照着给定输入情况的讨论对扰动输入进行同样的讨论。()()()():例设控制系统如图所示，其中给定输入，扰动输入（和均为常数），试求系统的稳态误差。:解当系统同时受到给定输入和扰动输入的作用时，其稳定误差为给定稳态误差和扰动稳态误差的叠加。令()=时，求得给定输入作用下的误差传递函数为所以给定稳态误差为()()图例系统结构图():令()=时，求得扰动输入作用下的误差传递函数为所以扰动稳态误差为由上式计算可以看出，()和()同是阶跃信号，由于在系统中的作用点不同，故它们产生的稳态误差也不相同。此外，由扰动稳态误差的表达式可见，提高系统前向通道中扰动信号作用点之前的环节()的放大系数（即），可以减小系统的扰动稳态误差。该系统总的稳态误差为:为了分析系统中串联的积分环节对稳态误差的影响，我们假设图中给定输入和扰动输入保持不变。这时，系统的稳态误差可按上述相同的方法求出，即:系统总的稳态误差为比较以上两次计算的结果可以看出，若要消除系统的给定稳态误差，则系统前向通道中串联的积分环节都起作用。若要消除系统的扰动稳态误差，则在系统前向通道中只有扰动输入作用点之前()的积分环节才起作用。因此，若要消除由给定输入和扰动输入同时作用于系统所产生的稳态误差，则串联的积分环节应集中在前向通道中扰动输入作用点之前(即()中）。:误差分析误差定义输入端定义：()=()()=()()()输出端定义：()=()()()=希实=–():例题求图示系统的稳态误差。其中()=()=()解：令()=因为系统稳定，所以令()=()=()总误差=:系统型别此时的为开环增益ν表示开环有ν个极点在坐标原点ν=称为型系统称为Ⅰ型系统称为Ⅱ型系统称为Ⅲ型系统ν=ν=ν=:对于非单位反馈系统，当（）为常数时，以上分析的有关结论同样适用。前面定义了相对于给定输入的无差度，同样也可以定义相对于扰动输入的无差度。当系统的中含有个串联的积分环节时称系统相对于扰动输入是阶无差系统，而称为系统相对于扰动输入的无差度。对本例中的前一种情况，系统对扰动输入的无差度为，而后一种情况，系统对扰动的无差度是。显然，当谈及一个系统的无差度时应指明系统对哪一种输入作用而言，否则，可能会得出错误的结论。:四、减小或消除稳态误差的方法前面的讨论表明，为了减小系统的稳态误差，可以增加开环传递函数中的串联积分环节的数目或提高系统的开环放大系数。但是，串联的积分环节一般不超过，而开环放大系数也不能任意增大，否则系统将可能不稳定。为了进一步减小系统稳态误差，还可以采用加前馈控制的复合控制方法，即从给定输入或扰动输入处引出一个前馈控制量（扰动必须是可以测量的），加到系统中去，通过适当选择补偿装置和作用点，就可以达到减小或消除稳态误差的目的。:在下图所示系统中，为了消除由()引起的稳态误差，可在原反馈控制的基础上，从给定输入处引出前馈量经补偿装置加到系统控制量中。此时系统误差信号的拉氏变换式为经整理得显然，如果选择补偿装置的传递函数为则系统的给定稳态误差为零。注意：用梅逊公式可以直接写出传递函数:在下图所示系统中，为了消除由()引起的稳态误差，可在原反馈控制的基础上，从扰动输入引出前馈量经补偿装置加到系统中，若设()=，则系统的输出()就是系统的误差信号。系统输出的拉氏变换式为经整理得显然，如果选择补偿装置的传递函数为提问：()应该放在还是处？为什么？要用好直接使用梅逊公式得到传递函数和输出表达式的基本功。:则可使输出不受扰动()的影响，故系统的扰动稳态误差为零。从直观上看，当满足时，扰动信号经两条通道到达点，两个分支信号正好大小相等，符号相反，因而实现了对扰动的全补偿。由于物理上可实现系统的传递函数总是满足分母的阶次大于或等于其分子的阶次，要求构造出分子的阶次大于或等于其分母阶次的补偿装置，这通常是不可能的。此外，由于传递函数的元件参数随着时间的推移也会发生变化，这就使得全补偿条件不可能成立。所以，实际上只能实现近似补偿。可以证明（有条件），前馈控制加入前后，系统的特征方程保持不变（前边的传递函数可直接看出），因此，系统的稳定性将不会发生变化。:五、动态误差及动态误差系数方法前面研究的稳态误差主要讨论的是典型输入信号下的稳态误差，对于部分非典型信号（如正弦信号）下，求稳态误差的极限计算方法可能不能用。另外，我们可能还需要了解输出响应在进入稳态（)后变化的规律如何。这些问题用前面介绍的方法都不方便。因此，下面再介绍一种适应范围更广泛的方法：动态误差系数法（又称广义误差系数法）。（以给定稳态误差为例）根据定义误差信号的拉氏变换式为：将误差传递函数Φ（）在=的邻域内展开成泰勒级数，得:得误差信号拉氏变换的一般表达式为：在零初始条件下，对上述级数求拉氏反变换，得稳态误差随时间变化得函数关系如下：定义为动态误差系数。:特别称为动态位置误差系数；为动态速度误差系数；为动态加速度误差系数。说明：“动态”二字的含意是指这种方法可以完整描述系统稳态误差()随时间变化的规律，而不是指误差信号中的瞬态分量变化的情况。因为上边的误差计算式只是在时间趋于无穷时才成立。如果输入信号()中包含有随时间增长而趋于零的分量，则这一输入分量不应包含在误差级数中的输入信号及其各阶导数之内。:动态误差系数的计算方法：多项式除法：）将分子多项式和分母多项式分别按升幂排列；）用多项式除法逐项求出泰勒公式直接求取法：利用定义式逐个计算。辅助计算法：使用函数：[]=()(动态误差及动态误差系数计算）[]=()。（典型信号及其组合的稳态误差）:例：已知单位反馈系统的开环传递函数为：系统一：系统二：求动态误差系数。解：根据公式得：:用长除法系统一：系统一动态误差系数：====:用长除法系统二：系统二动态误差系数：====:=([][])=[]=()用法:::^^===^^^=()()()()结果：:稳态误差小结：公式小结（）（）（）（）（）（）基本公式给定输入单独作用时:扰动单独作用时给定输入和扰动共同作用时（）（）（）（）（）（）:（）导出公式:方法小结：根据基本公式和各种典型输入型号进行讨论。消除稳态误差的方法小结：（）重点集中在前向通路最前端的传递函数中（如()中）。措施：增加稳态增益；增加积分环节的个数；（）使用给定前馈补偿和扰动前馈补偿近似消除部分已知和可测信号造成的稳态误差。:稳态误差的计算方法()拉氏变换的终值定理当输入信号为时可用终值定理计算静态误差谐波(正弦余弦)输入时不能应用此定理。()根据误差定义求稳态误差的方法求误差响应传递函数:误差响应的象函数误差响应的原函数求极值即为稳态误差。如系统同时存在输入信号和扰动信号则系统误差的求法如下：:为系统对输入信号的误差传递函数为系统对扰动信号的误差传递函数。则::作业：，:例:已知系统的结构图如下试求系统在输入信号()=和扰动信号()=()同时作用下系统的稳态误差举例：:解:理想情况偏差信号()＝，则系统在输入信号作用下的希望输出为：注意：这里又是一种有意义的推导方法，即按输出定义的误差进行推导的方法:对于扰动信号()而言理想的情况就是扰动信号引起的输出为即希望系统的输出一点都不受扰动的影响。系统在输入信号和扰动信号作用下的实际输出为::则()和()引起的系统误差为:用梅逊公式理解:在本题中首先要判断系统的稳定性如果系统不稳定不可能存在稳态误差。特征方程为::即:所以系统稳定。根据推导出的公式:根据胡尔维茨判据:系统的误差与系统的结构有关还与外作用(输入信号扰动)的大小及形式有关。注意：本例题给出了计算稳态误差的定义方法。:例:控制系统的结构图为试分别求出()=和()=时系统的稳态误差。注意：本例题直接使用公式法。:解:当()=时系统的开环传递函数为则系统稳态误差当()=时:若上列在()=时系统的允许误差为问开环增益应等于多少当时上例的稳态误差又是多少因为型系统在速度输入和加速度输入下的稳态误差为无穷大根据叠加原理=∞:扰动作用下的稳态误差实质上就是扰动引起的稳态输出的负值它与开环传递函数()=()()()及扰动信号()有关还与扰动作用点的位置有关。:注意：这里用心算法。:作用点不同稳态误差也不同。在扰动作用点之前的前向通路中增加一个积分环节用（比例积分调节器）代替:提高扰动作用点前的积分环节个数和增益可以减小或消除扰动引起的稳态误差但同样会降低系统的稳定性。综上所述为了减小输入信号引起的稳态误差，可以提高开环传递函数的积分环节个数和增益。:为了减小扰动作用引起的稳态误差，可以提高扰动作用点之前传递函数中积分环节的个数和增益。而这样都会降低系统的稳定性，而提高开环增益还会使系统动态性能变差，有些控制系统既要求有较高的稳态精度，又要求有良好的动态性能，利用上述方法难以兼顾。为此我们用下列方法减小和消除稳态误差。:例:系统输出:注意：这个例子就是一个典型的调速例子。注意用梅孙公式思考。:若选则系统的输出不受扰动的影响但不容易物理实现。因为一般物理系统的传递函数都是分母的阶次高于或等于分子的阶次。如果选则在稳态情况下这就是稳态全补偿实现很方便。:同样全补偿也难以实现通常采用稳态补偿的方法来减小或消除系统在输入信号作用下的稳态误差。:不引入补偿装置，则系统开环传递函数为Ⅰ型系统所以在速度输入信号作用下存在常值稳态误差:引入按输入补偿的作用()则如果选则但在物理上难以实现。:如果取则这样即实现稳态补偿。:谢谢！结束