2023年全国硕士研究生考试考研英语一试题真题(含答案详解+作文范文)_第1页
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文档简介

1、浅谈图论模型的建立与应用,广东省中山市第一中学 黄源河,引言,图论是数学的一个有趣的分支。图论的建模,就是要抓住问题的本质,把问题抽象为点、边、权的关系。许多看似无从入手的问题,通过图论建模,往往能转化为我们熟悉的经典问题。,例题1 Place the Robots(ZOJ),问题描述 有一个N*M(N,M<=50)的棋盘,棋盘的每一格是三种类型之一:空地、草地、墙。机器人只能放在空地上。在同一行或同一列

2、的两个机器人,若它们之间没有墙,则它们可以互相攻击。问给定的棋盘,最多可以放置多少个机器人,使它们不能互相攻击。,例题1 Place the Robots(ZOJ),模型一,于是,问题转化为求图的最大独立集问题。,在问题的原型中,草地,墙这些信息不是我们所关心的,我们关心的只是空地和空地之间的联系。因此,我们很自然想到了下面这种简单的模型:以空地为顶点,有冲突的空地间连边,我们可以得到右边的这个图:,例题1 Place the R

3、obots(ZOJ),模型一,在问题的原型中,草地,墙这些信息不是我们所关心的,我们关心的只是空地和空地之间的联系。因此,我们很自然想到了下面这种简单的模型:以空地为顶点,有冲突的空地间连边,我们可以得到右边的这个图:,这是NP问题!,我们将每一行,每一列被墙隔开,且包含空地的连续区域称作“块”。显然,在一个块之中,最多只能放一个机器人。我们把这些块编上号。,同样,把竖直方向的块也编上号。,例题1 Place the Robots(

4、ZOJ),模型二,1,2,3,4,5,例题1 Place the Robots(ZOJ),模型二,1,2,3,4,5,把每个横向块看作X部的点,竖向块看作Y部的点,若两个块有公共的空地,则在它们之间连边。,于是,问题转化成这样的一个二部图:,由于每条边表示一个空地,有冲突的空地之间必有公共顶点,所以问题转化为二部图的最大匹配问题。,例题1 Place the Robots(ZOJ),模型二,1,2,3,5,4,比较前面的两个模型:模

5、型一过于简单,没有给问题的求解带来任何便利;模型二则充分抓住了问题的内在联系,巧妙地建立了二部图模型。为什么会产生这种截然不同的结果呢?其一是由于对问题分析的角度不同:模型一以空地为点,模型二以空地为边;其二是由于对原型中要素的选取有差异:模型一对要素的选取不充分,模型二则保留了原型中“棋盘”这个重要的性质。由此可见,对要素的选取,是图论建模中至关重要的一步。,例题1 Place the Robots(ZOJ),小结,例题2 出纳员

6、的雇佣(ACM Tehran 2000),问题描述 有一家24小时营业的超市,需要雇佣一批出纳员。一天中每个小时需要出纳员的最少数量为R0,R1,R2,...,R23。有N个人申请这项工作,每个申请者,从一个特定时刻开始连续工作恰好8个小时,设Wi(i=0...23)表示从时刻i开始工作的申请者的人数(∑Wi=N<=1000)。 你的任务是计算出需要雇佣出纳员的最少数目,满足在每一时刻i,至少有Ri名出纳员

7、在工作。,例题2 出纳员的雇佣(ACM Tehran 2000),分析,初看本题,很容易使人往贪心、动态规划或网络流这些方面思考。然而,对于本题,这些算法都无能为力。 由于本题的约束条件很多,为了理清思路,我们先把题目中的约束条件用数学语言表达出来。设S[i]表示0~i时刻雇佣出纳员的总数,那么我们可以将题目中的约束条件转化为下面的不等式组:,0≤S[i]-S[i-1]≤Wi (0≤i≤23)S[i

8、]-S[i-8]≥Ri (8≤i≤23)S[23]+S[i]-S[i+16]≥Ri (0≤i≤7),例题2 出纳员的雇佣(ACM Tehran 2000),分析,这样的不等式组,不禁使我们想到了差分约束系统。对于每个不等式 S[i]-S[j]≤K,从顶点j向顶点i引一条权值为K的有向边。我们要求S[23]的最小值,就是要求顶点0到顶点23的最短路。注意上面第三条不等式:它包含三个未知数

9、,无法在图中表示为边的关系。,0≤S[i]-S[i-1]≤Wi (0≤i≤23)S[i]-S[i-8]≥Ri (8≤i≤23),S[23]+S[i]-S[i+16]≥Ri (0≤i≤7),怎么办,例题2 出纳员的雇佣(ACM Tehran 2000),分析,退一步考虑:如果S[23]已经确定了,那么上面的不等式组可以完全转化为一个有向图,顶点0到顶点i的最短路,就是S[

10、i]的解。而当图中存在负权回路时,不等式组无解。至于S[23],我们可以用二分法枚举,逐步缩小范围,用迭代法判断是否存在负权回路(判定可行性),最终求得S[23]的最小值。时间复杂度为O(243*log2N)。,,0≤S[i]-S[i-1]≤Wi (0≤i≤23)S[i]-S[i-8]≥Ri (8≤i≤23),S[23]+S[i]-S[i+16]≥Ri (0≤i≤7),

11、例题2 出纳员的雇佣(ACM Tehran 2000),小结,本题用到了差分约束系统的理论,在竞赛中,这样的系统并不多见,但是却可以巧妙的解决一些难题。这类题目的模型都不明显,需要一定的思考和转化。做这类题目,关键是要把题目中的约束条件表示为不等式,再把不等式转化为图的最短路或最长路模型。,例题3 贪婪之岛(ZOJ),,问题描述 有N(N≤100000)张卡片,每张卡片有三种能力,每种能力的能力值分别为Ai,Bi,Ci

12、。每张卡片可以使用其中一种能力,且每张卡片只能使用一次。现在需要A张卡片使用第一种能力,B张卡片使用第二种能力,C张卡片使用第三种能力(A+B+C≤100)。请计算使用哪些卡片,以及使用卡片的哪项能力,可以使相应的能力值之和最大。,例题3 贪婪之岛(ZOJ),,分析 最优化问题的解法有很多种,比如动态规划,网络流等,而本题就是一个比较明显的网络流模型。 网络流模型中,权的类型众多,有流量,容量,还可以有费用。

13、在本题中,容量可以作为选取的约束,确保解的合法性;费用则表示选取的价值,确保解的最优性。因此,更确切地说,本题是一个最大费用最大流模型。,构图,每张卡片i用顶点i表示,另外加三个顶点P1,P2,P3,表示三种能力,还有源点S,汇点T。,例题3 贪婪之岛(ZOJ),构图,从源点分别向P1,P2,P3引一条弧,容量分别为A,B,C,费用为0。,例题3 贪婪之岛(ZOJ),构图,,A,0,,B,0,,C,0,从P1,P2,P3向顶点i(1

14、≤i≤N) 分别引一条弧,容量为1,费用分别为Ai,Bi,Ci。,例题3 贪婪之岛(ZOJ),构图,,A,0,,B,0,,C,0,,,,,,,,,,,,,,,,从顶点i(1≤i≤N) 向汇点引一条弧,容量为1,费用为0。,例题3 贪婪之岛(ZOJ),构图,构图之后,求出从S到T的最大费用最大流,再检查流出P1,P2,P3的弧,并输出最优方案。,时间复杂度:O(N3),例题3 贪婪之岛(ZOJ),N太大了,需要进一步优化!,优化,例

15、题3 贪婪之岛(ZOJ),本题的卡片总数有十万之多,而最终要选取的卡片数不超过100张。如果在构图之前,把没有用的卡片先删掉,必将大大提高效率。什么样的卡片是没有用的呢?先考虑第一种能力的选取:如果把全部卡片按第一种能力值从大到小排序,显然我们应该尽量从前面选A张出来,由于每张卡片只能使用一次,所以有可能会和其他的两种能力发生冲突,而冲突的卡片数最多是B+C张,所以实际上对我们有用的卡片只是前面的A+B+C张。,优化,例题3 贪

16、婪之岛(ZOJ),同理,对于第二种和第三种能力的选取,也只需保留其能力值最大的前A+B+C张卡片。这一步可以在线性时间内解决。这是一个既简单又有效的方法,经过这一步处理,保留下来的卡片数不会超过3(A+B+C)张,顶点数大大减少,求解最大费用最大流的时间复杂度降为O((A+B+C)3)。至此,算法已经优化到了一个可以接受的地步,时间复杂度仅为O(N+(A+B+C)3)。,优化,例题3 贪婪之岛(ZOJ),如果还要进一步提高效率,可

17、以用更有效的算法删掉多余的顶点。不过这样做意义不大,而且也不是本文讨论的要点。另外,本题还可以转化为二部图模型,用最佳匹配算法求解。这一步留给读者自己思考。,小结,例题3 贪婪之岛(ZOJ),本题建立的是网络流模型。这类模型的算法系数大,编程复杂度也大,在竞赛中往往作为走投无路时的“候补算法”。但是,网络流模型的适用性广,一些较复杂,或者约束较多的问题,网络流模型可以很好地解决,而基于网络流模型的问题又比较明显,这使得网络流模型有着

18、广泛的应用。,结语,问题是千变万化的,如何建立问题的图论模型并没有通用的准则。前面的几个例子都比较简单,在更复杂的问题中,有时我们会感到难以建立适当的模型,这时,我们需要在不改变问题原型本身的性质的前提下,对原型进行抽象,简化,在此基础上建立合适,有效的模型。有时,我们建立了问题的一个模型之后,可能会感到难以求解,这时,我们可能需要对模型进行修改,转化,或者对原型进行更深入的分析,抽取其中较关键的要素,建立一个易于求解的模型。这些都需要

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