数学与应用数学毕业论文--数学思想方法教学

1、<p><b>　　毕 业 论 文</b></p><p>　　论文题目： 数学思想方法教学 </p><p>　　学 生 姓 名： </p><p>　　学 生 学 号： </p>&l

2、t;p>　　专 业 班 级： 2008级数学与应用数学3班 </p><p>　　院 系 名 称： 昆明学院数学系 </p><p>　　指 导 老 师： </p><p>　　学 院

3、院 长： </p><p>　　2012 年 3 月</p><p><b>　　数学思想方法教学</b></p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　中学数学思想方法与教学研究一直都是很多一线教师和家长

4、最热衷探讨的问题，此文就根据中学数学出现的各种实例来进行探讨中学数学思想方法教学，探讨各种数学题型的解题方法和归纳总结以及延伸出来的数学教学和发展。 </p><p>　　关键词：中学数学；思想方法；数学发展。 </p><p>　　Maths Thinking Method</p><p><b>　　Abstract</b></p

5、><p>　　Way of thinking and teaching of secondary school mathematics has always been a lot of front-line teachers and parents are most keen to explore the issue, this article according to various examples of sec

6、ondary school mathematics for the secondary school mathematics teaching methods of thinking, to explore the kinds of questions of various mathematical problem solvingmethods and summarized, and extended from the mathemat

7、ics teaching and development.</p><p>　　Keywords: Secondary school mathematics; way of thinking; the development of mathematics.</p><p><b>　　目 录</b></p><p>　　摘要‥‥‥‥‥‥‥

8、‥‥‥1</p><p>　　Abstract‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥2 </p><p>　　目录‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥3</p><p>　　第一章 引言‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥5</p><p>　　1.1数学思想方法教学的心理学意义‥‥‥‥‥

9、‥‥‥‥‥‥‥‥‥5</p><p>　　1.2中学数学中的主要数学思想和方法‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥7</p><p>　　第二章 数学思想方法实际应用探讨‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥10</p><p>　　2.1函数与方程思想‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥10</p><p>　　2.2数形结合思想‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥

10、‥‥‥‥‥20</p><p>　　2.3数学归纳法‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥24</p><p>　　第三章 结语‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥25</p><p><b>　　第一章 引言</b></p><p>　　1.1数学思想方法教学的心理学意义</p><p>　　美国心

11、理学家布鲁纳认为，“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构。”所谓基本结构就是指，“基本的、统一的观点，或者是一般的、基本的原理。”“学习结构就是学习事物是怎样相互关联的。”数学思想与方法为数学学科的一般原理的重要组成部分，下面从布鲁纳的基本结构学说中来看数学思想、方法教学所具有的重要意义。　　1.“懂得基本原理使得学科更容易理解”。心理学认为“由于认知结构中原有的有关观念在包摄和概括水平上高于新学习的知识，因而新知识与

12、旧知识所构成的这种类属关系又可称为下位关系，这种学习便称为下位学习。”当学生掌握了一些数学思想、方法，再去学习相关的数学知识，就属于下位学习了。下位学习所学知识“具有足够的稳定性，有利于牢固地固定新学习的意义，”即使新知识能够较顺利地纳入到学生已有的认知结构中去，学生学习了数学思想、方法就能够更好地理解和掌握数学内容。 　　2.有利于记忆。布鲁纳认为，“除非把一件件事情放进构造得好的模型里面，否则很快就会忘记。”“学习基本原理的目的，

13、就在于保证记忆的丧失不是全部丧失，而遗留下来的东西将使我们在需要的时候得以把一件件事情重新构思起来。高明的理论不仅</p><p>　　1.2中学数学中的主要数学思想和方法</p><p>　　数学思想是分析、处理和解决数学问题的根本想法，是对数学规律的理性认识。由于中学生认知能力和中学数学教学内容的限制，只能将部分重要的数学思想落实到数学教学过程中，而对有些数学思想不宜要求过高。我们认为

14、，在中学数学中应予以重视的数学思想主要有三个：集合思想、化归思想和对应思想。其理由是：（1）这三个思想几乎包摄了全部中学数学内容。（2）符合中学生的思维能力及他们的实际生活经验，易于被他们理解和掌握。（3）在中学数学教学中，运用这些思想分析、处理和解决数学问题的机会比较多。（4）掌握这些思想可以为进一步学习高等数学打下较好的基础。 待定系数法的实例</p><p>　　例1.把多项式表示为关于的降幂排列形式.&

15、lt;/p><p><b>　　解：用待定系数法：</b></p><p>　　设=把右边展开，合并同类项（把同类项对齐），</p><p><b>　　得= </b></p><p>　　用恒等式的性质，比较同类项系数，</p><p>　　得解这个方程组，得 </p&g

16、t;<p><b>　　∴=</b></p><p>　　本题也可用换元法： </p><p>　　设x－1=y, 　那么x=y+1.</p><p>　　把左边关于x的多项式化为关于y 的多项式，最后再把y换成x －1.</p><p>　　例2.已知： 是完全平方式.</p><p&

17、gt;<b>　　求： a和b的值.</b></p><p>　　解：设＝　（设待定的系数，要尽可能少.）</p><p>　　右边展开，合并同类项，得</p><p><b>　　＝</b></p><p>　　比较左右两边同类项系数，得方程组 ；　 .</p><p>　

18、　解得 ：m=3，a=12,b=6.</p><p>　　例3. 是否存在常数a、b、c，使得等式1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝对一切自然数n都成立？并证明你的结论。 </p><p>　　【分析】是否存在，不妨假设存在。由已知等式对一切自然数n都成立，取特殊值n＝1、2、3列出关于a、b、c的方程组，解方程组求出a、b、c的值，再用数学归纳法证明等式对所有自然数n

19、都成立。</p><p>　　【解】假设存在a、b、c使得等式成立，令：n＝1，得4＝(a＋b＋c)；n＝2，得22＝；n＝3，得70＝。整理得：</p><p><b>　　,解得，</b></p><p>　　于是对n＝1、2、3，等式1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(3n＋11n＋10)成立，下面用数学归纳法证明对任

20、意自然数n，该等式都成立：</p><p>　　假设对n＝k时等式成立，即1·2＋2·3＋…＋k(k＋1)＝(3k＋11k＋10)；</p><p>　　当n＝k＋1时，1·2＋2·3＋…＋k(k＋1)＋(k＋1)(k＋2)＝(3k＋11k＋10) ＋(k＋1)(k＋2)＝(k＋2)（3k＋5）＋(k＋1)(k＋2)＝（3k＋5k＋12k＋24）＝[

21、3(k＋1)＋11(k＋1)＋10]，</p><p>　　也就是说，等式对n＝k＋1也成立。</p><p>　　综上所述，当a＝8、b＝11、c＝10时，题设的等式对一切自然数n都成立。</p><p>　　【注】建立关于待定系数的方程组，在于由几个特殊值代入而得到。此种解法中，也体现了方程思想和特殊值法。对于是否存在性问题待定系数时，可以按照先试值、再猜想、最

22、后归纳证明的步骤进行。本题如果记得两个特殊数列1＋2＋…＋n、1＋2＋…＋n求和的公式，也可以抓住通项的拆开，运用数列求和公式而直接求解：由n(n＋1)＝n＋2n＋n得S＝1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(1＋2＋…＋n)＋2(1＋2＋…＋n)＋(1＋2＋…＋n)＝＋2×＋＝(3n＋11n＋10)，综上所述，当a＝8、b＝11、c＝10时，题设的等式对一切自然数n都成立。</p><p

23、>　　例4. 有矩形的铁皮，其长为30cm，宽为14cm，要从四角上剪掉边长为的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问x为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多少？</p><p>　　【分析】实际问题中，最大值、最小值的研究，先由已知条件选取合适的变量建立目标函数，将实际问题转化为函数最大值和最小值的研究。</p><p>　　【解】 依题意，矩形盒子底边边长为(30－

24、2x)cm，底边宽为(14－2x)cm，高为。</p><p>　　∴ 盒子容积 V＝(30－2x)(14－2x)x＝4(15－x)(7－x)x ，</p><p>　　显然:15－x>0，7－x>0，x>0。</p><p><b>　　设V＝ </b></p><p>　　要使用均值不等式，则&

25、lt;/p><p>　　解得：a＝， b＝ ， x＝3 。 </p><p>　　从而V＝(－)(－x)x≤()＝×27＝576。</p><p>　　所以当x＝3时，矩形盒子的容积最大，最大容积是576cm。</p><p>　　【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件，当条件不满足时要凑配系数，可以用“待定系数法”求。本题解答

26、中也可以令V＝(15a－ax)(7－x)bx 或 (15－x)(7a－ax)，再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组，求出三项该进行凑配的系数，本题也体现了“凑配法”和“函数思想”。</p><p>　　2.3、待定系数法的实例再现</p><p>　　设f(x)＝＋m，f(x)的反函数f(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____。</p><p>　　A.

27、 , －2 B. － ， 2 C. , 2 D. － ，－2</p><p>　　二次不等式ax＋bx＋2>0的解集是(－,)，则a＋b的值是_____。</p><p>　　A. 10 B. －10 C. 14 D. －14</p><p>　　在(1－x)（1＋x）的展开式中，x的系数是___

28、__。</p><p>　　A. －297 B.－252 C. 297 D. 207</p><p>　　函数y＝a－bcos3x (b<0)的最大值为，最小值为－，则y＝－4asin3bx的最小正周期是_____。</p><p>　　与直线L：2x＋3y＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线的方程是_______________

29、。</p><p>　　与双曲线x－＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是____________。</p><p>　　【简解】1小题：由f(x)＝＋m求出f(x)＝2x－2m，比较系数易求，选C；</p><p>　　2小题：由不等式解集(－,)，可知－、是方程ax＋bx＋2＝0的两根，代入两根，列出关于系数a、b的方程组，易求得a＋b，选D；&l

30、t;/p><p>　　3小题：分析x的系数由C与(－1)C两项组成，相加后得x的系数，选D；</p><p>　　4小题：由已知最大值和最小值列出a、b的方程组求出a、b的值，再代入求得答案；</p><p>　　5小题：设直线的方程2x＋3y＋c＝0，点A(1,-4)代入求得C＝10，即得2x＋3y＋10＝0；</p><p>　　6小题：设双

31、曲线方程x－＝λ，点(2,2)代入求得λ＝3，即得方程－＝1。</p><p>　　在高中数学的学习中，转化与化归是我们研究问题的最基本，最重要的思想方法，它无处不在，比如，处理立体几何问题时，将空间问题转化到一个平面上去解决；在解析几何中通过建立坐标系将几何问题化归为代数问题；复数问题归化为实数问题。</p><p><b>　　1转化与化归的原则</b></

32、p><p>　　目标简单化原则：将复杂的问题向简单的问题转化。</p><p>　　和谐统一性原则：即化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐，在量，行关系上趋于统一的方向上进行，使问题的条件和结论更均匀和恰当。</p><p>　　具体化原则：即化归方向应有抽象到具体。</p><p>　　低层次原则：即将高维空间问题化归成地维空间成低维空间

33、问题。</p><p>　　正难则反原则：即当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。</p><p>　　2转化与化归常用到的方法</p><p>　　直接转化法：把原问题直接转化为基本定理，基本公式或基本图形问题。</p><p>　　换原法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的

34、函数，方程，不等式问题转化为易于解决的基本问题。</p><p>　　数行结合法；研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径。</p><p>　　构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题。</p><p>　　坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题，是转化方法的一个重要途径。</p>&

35、lt;p>　　类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化途径。</p><p>　　特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题。</p><p>　　等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价问题，达到转化目的。</p><p>　　加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即命题的结论加强为原

36、命题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，比如在证明不等式时，原命题往往难以得证，这时常把结论加强，使之成为原命题的充分条件，从而易证。</p><p>　　本题以一元二次方程存在实数根为载体，考查含有绝对值的不等式的解法，求解决对值不等式一般通过脱去绝对值号转化为不等式或不等式组。</p><p>　　此外，符号化思想、公理化思想以及极限思想等在中学数学中也不同程度地有所体

37、现，应依据具体情况在教学中予以渗透。数学方法是分析、处理和解决数学问题的策略，这些策略与人们的数学知识、经验以及数学思想掌握情况密切相关。从有利于中学数学教学出发，本着数量不宜过多原则，我们认为目前应予以重视的数学方法有：数学模型法，数形结合法，变换法，函数法和类分法等。一般讲，中学数学中分析、处理和解决数学问题的活动是在数学思想指导下，运用数学方法，通过一系列数学技能操作来完成的。 　　</p><p>　　

38、第二章 数学思想方法实际应用探讨</p><p>　　2.1函数与方程思想</p><p>　　函数与方程的思想是各种数学的一条主线，这不仅可以高中新课程内容中一直是以函数为主线贯穿这一事实体现出来，而且函数与方程思想也是数学最本质的思想之一。函数思想使常量数学进入了变量数学，高中数学中的初等函数，数列，不等式，解析几何等问题都可以转化为函数与方程问题。</p><p&

39、gt;　　1函数思想是指运用运动和变化的观点，集合与对应的内在联系，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数关系，运用函数的图像和性质去分析问题，转化问题和解决问题，应用非常广泛。深刻理解函数一般函数的单调性，周期性，值域和图像变换，熟练掌握一次函数，二次函数，反比例函数，幂函数，指数函数和对数函数，三角函数的具体性质，是应用函数思想解题的基础，挖掘隐含条件，从而恰当的构造函数和灵活应用函数的性质是实施解决解题关键，它广

40、泛地应用于方程，不等式，数列等问题。</p><p>　　2与函数思想联系的就是方程的思想。所谓方程的思想，就是在解决问题时，用设定的未知数沟通问题中所涉及的各种量间的制约关系，列出方程的思想，就是在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题中所涉及的各个量之间制约关系，列出方程组，从而求出未知数及各量的值，使问题的解决。所设的未知数，沟通了变量之间制约关系，方程可以看做未知量与已知量之间相互制约的条件，太架设了由已

41、知探索未知的桥梁，事实上方程f(x)=0的解就是函数y= f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数y= f(x)也可以看做二元方程f(x)- y=0.通过方程进行研究，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。</p><p>　　3函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在以下几个方面：</p><p>　　函数与不等式相互转化，对函数y= f(x)当y﹥0时，就化为不等式f(x) ﹥0，

42、借助于函数的图像和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式。</p><p>　　数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列的问题十分重要。</p><p>　　函数f(x)=（a+bx）^n(n∈N*)与二项式定理密切相关，利用这个函数，用赋值法和比较系数法可以解决很多有关二项式定理的问题及求和问题。</p><p>　　解析结合

43、问题中许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决。这都涉及二次方程与二次函数的有关理论。</p><p>　　立体几何中有关线段，角，面积，体积的计算，经常需要列方程或建立空间向量后，立体几何与函数的关系就更加密切。</p><p><b>　　函数的实际应用</b></p><p><b>　　2.2数

44、形结合思想</b></p><p>　　数行结合的数学思想：包含“以形助数”和以数辅形两个方面，其应用大致可以分为两种情形；或者是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质;或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形做为目的，如应用曲线的方程来精确的阐明曲线的几何性质。</p><p&

45、gt;　　2运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则</p><p>　　等价性原则，要注意由于图像不能精确刻量数量关系所带来的负面效应；</p><p>　　双方性原则。既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象代数探索，仅对代数问题进行几何分析容易出错；</p><p>　　简单性原则，不要为了“数形结合”而数形结合，具体运用时。一要考虑是否可行和是否有

46、利；二是选择好突破口，恰当设参，用参，建立关系做好；三是要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择直线与定二次曲线。</p><p>　　3应用数形结合的思想方法解题，通常从以下几个方面入手：</p><p><b>　　函数与函数图象；</b></p><p><b>　　不等式与函数图象；</b

47、></p><p><b>　　曲线与方程；</b></p><p>　　参数本身的几何意义；</p><p><b>　　代数式的结构特点；</b></p><p>　　概念自身的几何意义；</p><p>　　可行域与目标函数最值；</p><p

48、><b>　　向量的两重性。</b></p><p><b>　　数形结合法的典例</b></p><p>　　例1. 若方程 （＞0）的两根满足：＜1，1＜＜3，求的取值范围。</p><p>　　解析：画出与方程对应的二次函数 （＞0）的草图：</p><p>　　由图可知：当=1时，＜

49、0； 当=3时，＞0.</p><p>　　即 ＜0 ； ＞0.</p><p><b>　　解得：＜＜1.</b></p><p>　　例2.若关于x的不等式 的解集仅有一个元素，求的值。</p><p>　　解：如图：在同一坐标系内，作出与的图象。题设条件等价于抛物线在直线与之间的带状区域仅有一个交点，且抛物线开

50、口向上。由图形的直观性质可知：这个交点只能在直线上，故方程组 仅有一组解。</p><p><b>　　即 </b></p><p>　　小结：对于参数方程（不等式），可将其与对应的函数（图象）联系起来，运用数形结合思想，去揭示问题中所蕴含的几何背景，往往能为解题提供清晰的思路。</p><p>　　例3.已知a、均为正数，且求的最小值。&l

51、t;/p><p>　　解：如图，作线段AB=2，在AB上截取AE=，</p><p>　　EB=，过A作ACAB，且AC=2，过B作BDAB，且BD=1。由勾股定理：CE=，BD=，原题即求CE+ED的最小值。</p><p>　　又如图，延长CA至G,使AG=AC，连接GE，由三角形两边之和大于第三边，则G、E、D三点共线时，GE+ED=DG最短。作出图形，延长DB至

52、F，使BF//AG且BF=AG，连接GF.</p><p>　　则在Rt△DGF中，DF=1+2=3，GF=AB=2</p><p>　　CE+DE的最小值是</p><p><b>　　即的最小值是</b></p><p>　　小结：此题由式子特点联想勾股定理，构造图形解决问题。</p><p>

53、;　　例4.如图，在△ABC中，AB＞AC，CF、BE分别是AB、AC边上的高。试证： </p><p>　　证明：（代数法）由AB＞AC＞CF，AB＞BE</p><p><b>　　及S△ABC </b></p><p><b>　　＞</b></p><p><b>

54、;　　＞</b></p><p><b>　　,=.</b></p><p><b>　　综上：</b></p><p>　　小结：这种证明方法，采用了代数法，较之纯几何证法来，易于想到。</p><p>　　、数形结合法的实例再现</p><p>　　1.方程l

55、gx=sinx的根的个数( )</p><p>　　(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个</p><p>　　2．已知全集U=R，集合A={x|x2-3x-10<0},B={x|x>3},则右图中阴影部分表示的集合为( )</p><p>　　A．(3,5) B．(-2,+) C．(-2,5) D．(5,+

56、 )</p><p>　　3．函数图象如图，则函数 的单调递增区间为（ ）</p><p>　　A．B． C．D．</p><p>　　4．不等式组有解，则实数的取值范围是（ ）</p><p><b>　　A．B．</b></p><p><b>

57、　　C．D．</b></p><p>　　5．已知f(x)是定义在（-3，3）上的奇函数，当0<x<3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)·cosx<0的解集是 （ ）</p><p>　　6．复数(x-2)+yi，其中x、y均为实数，当此虚数的模为1时，的取值范围是 </p><

58、p>　　7.已知关于x的方程x2-4|x|+5=m有四个不相等的实根，则实数m的范围是_______.</p><p>　　8.设A={(x,y)|x2+(y-1)2=1},B={(x,y)|x+y+m≥0}，则使AB成立的实数m的取值范围是______.</p><p>　　【简解】1．选C.在同一坐标系中作出y=lgx与y=sinx的图象，如图.其交点数为3.</p>

59、;<p><b>　　2．答案：B</b></p><p><b>　　3．</b></p><p>　　作出不等式组表示的平面区域B，如图所示，根据图形可知该区域为等腰直角三角形，可求出面积，所以平面区域B的面积为1．</p><p><b>　　3．答案：D</b></p>

60、;<p><b>　　4．答案：A</b></p><p>　　5．选B.根据对称性画出</p><p>　　f(x)在（-3,0）上的图象如</p><p>　　图，结合y=cosx在(-3,0), </p><p>　　(0,3)上函数值的正负,</p><p>　　易知不等式f

61、(x)cosx<0的解集是</p><p>　　6．由题意知，设，则k为过圆(x-2)2+y2=1上的点及原点的直线斜率，作图如下：</p><p>　　又由对称性，可得答案：</p><p><b>　　答案：</b></p><p>　　7．令f(x)=x2-4|x|+5=(|x|-2)2+1，其图象如图. &

62、lt;/p><p>　　画直线y=m,由图象知当1<m<5时，方程有四个不相等的实根.</p><p><b>　　答案：（1，5）</b></p><p>　　8．由于集合A，B都是点的集合,故可结合图形进行分析、求解.集合A是一个圆x2+(y-1)2=1上的点的集合,集合B是一个不等式x+y+m≥0表示的平面区域内的点的集合, 要使

63、AB，则应使圆被平面区域所包含（如图），</p><p>　　即直线x+y+m=0应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有</p><p>　　故m的取值范围是m≥-1.</p><p><b>　　答案：m≥-1</b></p><p><b>　　2.3数学归纳法</b></p

64、><p><b>　　数学归纳法的简述</b></p><p>　　归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在高中数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。数学归纳法是用来证明某些与

65、自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解高中数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n )时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或n≥n 且n∈N）结论都正确”。由

66、这两步可以看出，高中数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。运用高中数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解</p><p><b>　　数学归纳法的典例</b></p><p>　　例1．用数学归纳法证明：</p&g

67、t;<p><b>　　．</b></p><p>　　请读者分析下面的证法：</p><p>　　证明：①n=1时，左边，右边，左边=右边，等式成立．</p><p>　　②假设n=k时，等式成立，即：</p><p><b>　　．</b></p><p>

68、　　那么当n=k+1时，有：</p><p>　　这就是说，当n=k+1时，等式亦成立．</p><p>　　由①、②可知，对一切自然数n等式成立．</p><p>　　评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n=k这一步，当n=k+1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．</p&g

69、t;<p>　　正确方法是：当n=k+1时．</p><p>　　这就说明，当n=k+1时，等式亦成立，</p><p>　　例2．是否存在一个等差数列{an}，使得对任何自然数n，等式：</p><p>　　a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)</p><p>　　都成立，并证明你的结论．</p>

70、;<p>　　分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n=1，2，3时找出来{an}，然后再证明一般性． </p><p>　　解：将n=1，2，3分别代入等式得方程组．</p><p><b>　　，</b></p><p>　　解得a1=6，a2=9，a3=12，则d=3．</p><p>　　故存在

71、一个等差数列an=3n+3，当n=1，2，3时，已知等式成立．</p><p>　　下面用数学归纳法证明存在一个等差数列an=3n+3，对大于3的自然数，等式</p><p>　　a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立．</p><p>　　因为起始值已证，可证第二步骤． </p><p>　　假设n=k时，等式成立

72、，即</p><p>　　a1+2a2+3a3+…+kak=k(k+1)(k+2)</p><p>　　那么当n=k+1时， </p><p>　　a1+2a2+3a3+…+kak +(k+1)ak+1</p><p>　　= k(k+1)(k+2)+ (k+1)[3(k+1)+3]</p><p>　　=(k

73、+1)(k2+2k+3k+6)</p><p>　　=(k+1)(k+2)(k+3)</p><p>　　=(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]</p><p>　　这就是说，当n=k+1时，也存在一个等差数列an=3n+3使a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)成立．</p><p>　　综合上述，可知存在一个等

74、差数列an=3n+3，对任何自然数n，等式a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立．</p><p>　　例3．证明不等式 (n∈N)．</p><p>　　证明：①当n=1时，左边=1，右边=2．</p><p>　　左边<右边，不等式成立．</p><p>　　②假设n=k时，不等式成立，即．</p>

75、;<p>　　那么当n=k+1时，</p><p>　　这就是说，当n=k+1时，不等式成立．</p><p>　　由①、②可知，原不等式对任意自然数n都成立．</p><p>　　说明：这里要注意，当n=k+1时，要证的目标是</p><p>　　，当代入归纳假设后，就是要证明：</p><p><

76、;b>　　．</b></p><p>　　认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．</p><p>　　例4．已知数列{an}满足a1=0，a2=1，当n∈N时，an+2=an+1+an．</p><p>　　求证：数列{an}的第4m+1项(m∈N)能被3整除．</p><p>　　分析：

77、本题由an+1=an+1+an求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法．</p><p>　　①当m=1时，a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=a2+a1+a2+a2+a1=3，能被3整除．</p><p>　　②当m=k时，a4k+1能被3整除，那么当n=k+1时，</p><p>　　a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+

78、a4k+3</p><p>　　=a4k+3+a4k+2+a4k+2+a4k+1</p><p>　　=a4k+2+a4k+1+a4k+2+a4k+2+a4k+1</p><p>　　=3a4k+2+2a4k+1</p><p>　　由假设a4k+1能被3整除，又3a4k+2能被3整除，故3a4k+2+2a4k+1能被3整除．</p&g

79、t;<p>　　因此，当m=k+1时，a4(k+1)+1也能被3整除．</p><p>　　由①、②可知，对一切自然数m∈N，数列{an}中的第4m+1项都能被3整除．</p><p>　　数学归纳法的实例再现</p><p>　　1. 用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2·1·2…(2n－1) （n∈N），从“k

80、到k＋1”，左端需乘的代数式为_____。</p><p>　　A. 2k＋1 B. 2(2k＋1) C. D. </p><p>　　2. 用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<n (n>1)时，由n＝k (k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的代数式的个数是_____。</p><p>　　A.

81、 2 B. 2－1 C. 2 D. 2＋1</p><p>　　3. 某个命题与自然数n有关，若n＝k (k∈N)时该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立。现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得______。 (94年上海高考)</p><p>　　A.当n＝6时该命题不成立 B.当n＝6时该命题成立<

82、;/p><p>　　C.当n＝4时该命题不成立 D.当n＝4时该命题成立</p><p>　　4. 数列{a}中，已知a＝1，当n≥2时a＝a＋2n－1，依次计算a、a、a后，猜想a的表达式是_____。</p><p>　　A. 3n－2 B. n C. 3 D. 4n－3</p>&l

83、t;p>　　5. 用数学归纳法证明3＋5 (n∈N)能被14整除，当n＝k＋1时对于式子3＋5应变形为_______________________。</p><p>　　6. 设k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱对角面的个数为f(k+1)＝f(k)＋_________。</p><p>　　【简解】1小题：n＝k时，左端的代数式是(k＋1)(k＋2)…(k＋k),n＝k＋1时

84、，左端的代数式是(k＋2)(k＋3)…(2k＋1)(2k＋2)，所以应乘的代数式为，选B；</p><p>　　2小题：（2－1）－（2－1）＝2，选C；</p><p>　　3小题：原命题与逆否命题等价，若n＝k＋1时命题不成立，则n＝k命题不成立，选C。</p><p>　　4小题：计算出a＝1、a＝4、a＝9、a＝16再猜想a，选B；</p>&

85、lt;p>　　5小题：答案（3＋5）3＋5（5－3）；</p><p>　　6小题：答案k－1。</p><p><b>　　第三章 结语</b></p><p>　　数学思想方法在数学学习当中尤为重要，以及各种思想方法在数学当中可以说贯穿了整个中学数学学习的主线，我们从各个方面来探讨和剖析了数学当中的方法和实例，通过数学学习的各种方法也

86、可以增加我们对数学学习的认识和充分的了解，进一步加强我们对数学的认识和思考。</p><p>　　参考文献：中学数学教材全解，陕西人民教育出版社</p><p>　　[1] 布鲁纳．教育过程．上海人民出版社，1973． 　　[2]崔录等．现代教育思想精粹．光明日报出版社，1987． 　　[3]邵瑞珍等．教育心理学．上海教育出版社，1985．</p><p>&